La optimización de la trayectoria es el proceso de diseñar una trayectoria que minimiza (o maximiza) alguna medida de rendimiento al tiempo que satisface un conjunto de restricciones. En términos generales, la optimización de la trayectoria es una técnica para calcular una solución de bucle abierto para un problema de control óptimo . [1] Se utiliza a menudo para sistemas en los que no se requiere, no es práctico o imposible calcular la solución de circuito cerrado completo. Si un problema de optimización de la trayectoria se puede resolver a una tasa dada por la inversa de la constante de Lipschitz , [2] entonces se puede usar iterativamente para generar una solución de ciclo cerrado en el sentido de Caratheodory.. Si solo se ejecuta el primer paso de la trayectoria para un problema de horizonte infinito, esto se conoce como Control Predictivo de Modelo (MPC) .
Aunque la idea de la optimización de la trayectoria ha existido durante cientos de años ( cálculo de variaciones , problema de braquistocrona ), solo se volvió práctica para problemas del mundo real con la llegada de la computadora. Muchas de las aplicaciones originales de la optimización de trayectorias se encontraban en la industria aeroespacial, computando trayectorias de lanzamiento de cohetes y misiles. Más recientemente, la optimización de la trayectoria también se ha utilizado en una amplia variedad de procesos industriales y aplicaciones robóticas. [3]
Historia
La optimización de la trayectoria apareció por primera vez en 1697, con la introducción del problema de la braquistocrona: encuentre la forma de un cable de modo que una cuenta que se deslice a lo largo de él se mueva entre dos puntos en el tiempo mínimo. [4] Lo interesante de este problema es que se optimiza sobre una curva (la forma del cable), en lugar de un solo número. La más famosa de las soluciones se calculó mediante cálculo de variaciones .
En la década de 1950, la computadora digital comenzó a hacer que la optimización de trayectorias fuera práctica para resolver problemas del mundo real. Los primeros enfoques de control óptimo surgieron del cálculo de variaciones , basados en la investigación de Gilbert Ames Bliss y Bryson [5] en Estados Unidos, y Pontryagin [6] en Rusia. El principio máximo de Pontryagin [1] es de particular interés. Estos primeros investigadores crearon la base de lo que ahora llamamos métodos indirectos para la optimización de trayectorias.
Gran parte del trabajo inicial en la optimización de la trayectoria se centró en calcular los perfiles de empuje de los cohetes, tanto en el vacío como en la atmósfera. Esta primera investigación descubrió muchos principios básicos que todavía se utilizan en la actualidad. Otra aplicación exitosa fue el ascenso a trayectorias de altitud para los primeros aviones a reacción. Debido al alto arrastre asociado con la región de arrastre transónico y el bajo empuje de los primeros aviones a reacción, la optimización de la trayectoria fue la clave para maximizar el rendimiento de ascenso a altitud. Las trayectorias óptimas basadas en el control fueron responsables de algunos de los récords mundiales. En estas situaciones, el piloto siguió un programa de Mach versus altitud basado en soluciones de control óptimas.
Uno de los primeros problemas importantes en la optimización de la trayectoria fue el del arco singular , donde el principio máximo de Pontryagin no logra dar una solución completa. Un ejemplo de un problema con control singular es la optimización del empuje de un misil que vuela a una altitud constante y que se lanza a baja velocidad. Aquí el problema es de un control de bang-bang al máximo empuje posible hasta que se alcanza el arco singular. Entonces, la solución al control singular proporciona un empuje variable más bajo hasta el agotamiento. En ese punto, el control bang-bang proporciona que el control o el empuje llegue a su valor mínimo de cero. Esta solución es la base del perfil de motor de cohete de impulso-sostenimiento que se usa ampliamente en la actualidad para maximizar el rendimiento de los misiles.
Aplicaciones
Existe una amplia variedad de aplicaciones para la optimización de trayectorias, principalmente en robótica: industria, manipulación, caminar, planificación de rutas y aeroespacial. También se puede utilizar para modelar y estimar.
Manipuladores robóticos
Dependiendo de la configuración, los manipuladores robóticos de cadena abierta requieren un grado de optimización de la trayectoria. Por ejemplo, un brazo robótico con 7 articulaciones y 7 enlaces (7-DOF) es un sistema redundante en el que una posición cartesiana de un efector final puede corresponder a un número infinito de posiciones de ángulo de articulación, por lo que esta redundancia se puede utilizar para optimizar un trayectoria para, por ejemplo, evitar cualquier obstáculo en el espacio de trabajo o minimizar el torque en las juntas. [7]
Helicópteros quadrotor
La optimización de trayectorias se utiliza a menudo para calcular trayectorias para helicópteros cuadrrotor . Estas aplicaciones suelen utilizar algoritmos altamente especializados. [8] [9] Una aplicación interesante mostrada por el laboratorio GRASP de U.Penn es calcular una trayectoria que permite que un quadrotor vuele a través de un aro mientras es lanzado. Otro, esta vez en el ETH Zurich Flying Machine Arena , involucra dos cuadrotores que lanzan un poste hacia adelante y hacia atrás entre ellos, con el equilibrio como un péndulo invertido. El problema de calcular las trayectorias de energía mínima para un quadcopter también se ha estudiado recientemente. [10]
Fabricación
La optimización de la trayectoria se utiliza en la fabricación, especialmente para controlar procesos químicos (como en [11] ) o calcular la ruta deseada para manipuladores robóticos (como en [12] ).
Robots andantes
Existe una variedad de aplicaciones diferentes para la optimización de trayectorias dentro del campo de la robótica andante. Por ejemplo, un artículo utilizó la optimización de la trayectoria de la marcha bípeda en un modelo simple para mostrar que caminar es energéticamente favorable para moverse a baja velocidad y correr es energéticamente favorable para moverse a alta velocidad. [13] Como en muchas otras aplicaciones, la optimización de la trayectoria se puede utilizar para calcular una trayectoria nominal, alrededor de la cual se construye un controlador estabilizador. [14] La optimización de la trayectoria se puede aplicar en robots humanoides complejos de planificación de movimiento detallada, como Atlas . [15] Por último, la optimización de la trayectoria se puede utilizar para la planificación de rutas de robots con limitaciones dinámicas complicadas, utilizando modelos de complejidad reducida. [dieciséis]
Aeroespacial
Para los misiles tácticos , los perfiles de vuelo están determinados por los historiales de empuje y elevación . Estos historiales se pueden controlar por varios medios, incluidas técnicas como el uso de un historial de comandos de ángulo de ataque o un programa de altitud / rango descendente que debe seguir el misil. Cada combinación de factores de diseño de misiles, desempeño deseado del misil y restricciones del sistema da como resultado un nuevo conjunto de parámetros de control óptimos. [17]
Terminología
- Variables de decisión
- El conjunto de incógnitas que se encontrarán mediante la optimización.
- Problema de optimización de trayectoria
- Un tipo especial de problema de optimización donde las variables de decisión son funciones, en lugar de números reales.
- Optimización de parámetros
- Cualquier problema de optimización donde las variables de decisión sean números reales.
- Programa no lineal
- Una clase de optimización de parámetros restringidos donde la función objetivo o las restricciones no son lineales.
- Método indirecto
- Un método indirecto para resolver un problema de optimización de trayectoria procede en tres pasos: 1) Construir analíticamente las condiciones necesarias y suficientes para la optimización, 2) Discretizar estas condiciones, construyendo un problema de optimización de parámetros restringidos, 3) Resolver ese problema de optimización. [18]
- Método directo
- Un método directo para resolver un problema de optimización de trayectoria consta de dos pasos: 1) Discretizar el problema de optimización de trayectoria directamente, convirtiéndolo en un problema de optimización de parámetros restringidos, 2) Resolver ese problema de optimización. [18]
- Transcripción
- El proceso por el cual un problema de optimización de trayectoria se convierte en un problema de optimización de parámetros. Esto a veces se denomina discretización. Los métodos de transcripción generalmente se dividen en dos categorías: métodos de disparo y métodos de colocación.
- Método de disparo
- Un método de transcripción que se basa en la simulación, que normalmente utiliza esquemas explícitos de Runge-Kutta.
- Método de colocación ( método simultáneo)
- Un método de transcripción que se basa en la aproximación de funciones, que normalmente utiliza esquemas implícitos de Runge-Kutta.
- Método pseudoespectral (colocación global)
- Un método de transcripción que representa la trayectoria completa como un único polinomio ortogonal de alto orden.
- Malla (cuadrícula)
- Después de la transcripción, la trayectoria que antes era continua ahora está representada por un conjunto discreto de puntos, conocidos como puntos de malla o puntos de cuadrícula.
- Refinamiento de la malla
- El proceso mediante el cual se mejora la malla de discretización resolviendo una secuencia de problemas de optimización de trayectorias. El refinamiento de la malla se realiza subdividiendo un segmento de trayectoria o aumentando el orden del polinomio que representa ese segmento. [19] [20]
- Problema de optimización de trayectoria multifase
- La optimización de la trayectoria en un sistema con dinámica híbrida [21] se puede lograr planteándolo como un problema de optimización de la trayectoria multifase. Esto se hace componiendo una secuencia de problemas de optimización de trayectoria estándar que están conectados usando restricciones. [21] [22]
Técnicas de optimización de trayectoria
Las técnicas para cualquier problema de optimización se pueden dividir en dos categorías: indirectas y directas. Un método indirecto funciona construyendo analíticamente las condiciones necesarias y suficientes para la optimización, que luego se resuelven numéricamente. Un método directo intenta una solución numérica directa mediante la construcción de una secuencia de aproximaciones que mejoran continuamente a la solución óptima. [18] Los métodos directos e indirectos pueden combinarse mediante la aplicación del principio de mapeo covector de Ross y Fahroo . [23]
El problema de control óptimo es un problema de optimización de dimensión infinita, ya que las variables de decisión son funciones, en lugar de números reales. Todas las técnicas de solución realizan la transcripción, un proceso mediante el cual el problema de optimización de la trayectoria (optimización de funciones) se convierte en un problema de optimización de parámetros restringidos (optimización de números reales). Generalmente, este problema de optimización de parámetros restringidos es un programa no lineal, aunque en casos especiales puede reducirse a un programa cuadrático o programa lineal .
Disparo único
El disparo único es el tipo más simple de técnica de optimización de trayectoria. La idea básica es similar a cómo apuntaría un cañón: elija un conjunto de parámetros para la trayectoria, simule todo y luego verifique si acertó en el objetivo. Toda la trayectoria se representa como un solo segmento, con una única restricción, conocida como restricción de defecto, que requiere que el estado final de la simulación coincida con el estado final deseado del sistema. El disparo único es eficaz para problemas que son simples o que tienen una inicialización extremadamente buena. Tanto la formulación indirecta como la directa tienden a tener dificultades de otra manera. [18] [24] [25]
Disparos múltiples
El disparo múltiple es una simple extensión del disparo único que lo hace mucho más efectivo. En lugar de representar la trayectoria completa como una sola simulación (segmento), el algoritmo divide la trayectoria en muchos segmentos más cortos y se agrega una restricción de defecto entre cada uno. El resultado es un gran programa escaso no lineal, que tiende a ser más fácil de resolver que los pequeños programas densos producidos por un solo disparo. [24] [25]
Colocación directa
Los métodos de colocación directa funcionan aproximando el estado y las trayectorias de control utilizando splines polinomiales . En ocasiones, estos métodos se denominan transcripción directa. La colocación trapezoidal es un método de colocación directa de bajo orden de uso común. La dinámica, el objetivo de la trayectoria y el control se representan mediante splines lineales, y la dinámica se satisface mediante la cuadratura trapezoidal . La colocación de Hermite-Simpson es un método común de colocación directa de orden medio. El estado está representado por una spline cúbica de Hermite y la dinámica se satisface utilizando la cuadratura de Simpson . [18] [25]
Colocación ortogonal
La colocación ortogonal es técnicamente un subconjunto de la colocación directa, pero los detalles de implementación son tan diferentes que razonablemente se puede considerar su propio conjunto de métodos. La colocación ortogonal se diferencia de la colocación directa en que normalmente utiliza splines de orden superior y cada segmento de la trayectoria puede estar representado por una spline de un orden diferente. El nombre proviene del uso de polinomios ortogonales en las splines de estado y control. [25] [26]
Discretización pseudoespectral
En la discretización pseudoespectral, toda la trayectoria está representada por una colección de funciones base [27] en el dominio del tiempo (variable independiente). Las funciones de base no necesitan ser polinomios. [27] La discretización pseudoespectral también se conoce como colocación espectral. [28] [29] [30] Cuando se utiliza para resolver un problema de optimización de trayectoria cuya solución es suave, un método pseudoespectral logrará la convergencia espectral (exponencial). [31] [32] Si la trayectoria no es suave, la convergencia sigue siendo muy rápida, más rápida que los métodos de Runge-Kutta. [32] [33] [34]
Programación dinámica diferencial
La programación dinámica diferencial es un poco diferente a las otras técnicas descritas aquí. En particular, no separa limpiamente la transcripción y la optimización. En cambio, realiza una secuencia iterativa de pases hacia adelante y hacia atrás a lo largo de la trayectoria. Cada pase hacia adelante satisface la dinámica del sistema, y cada pase hacia atrás satisface las condiciones óptimas para el control. Finalmente, esta iteración converge a una trayectoria que es tanto factible como óptima. [35]
Comparación de técnicas
Hay muchas técnicas para elegir al resolver un problema de optimización de trayectoria. No existe el mejor método, pero algunos métodos pueden funcionar mejor en problemas específicos. Esta sección proporciona una comprensión aproximada de las compensaciones entre métodos.
Métodos indirectos frente a métodos directos
Al resolver un problema de optimización de trayectoria con un método indirecto, debe construir explícitamente las ecuaciones adjuntas y sus gradientes. Esto suele ser difícil de hacer, pero proporciona una excelente métrica de precisión para la solución. Los métodos directos son mucho más fáciles de configurar y resolver, pero no tienen una métrica de precisión incorporada. [18] Como resultado, los métodos directos se utilizan más ampliamente, especialmente en aplicaciones no críticas. Los métodos indirectos todavía tienen un lugar en aplicaciones especializadas, particularmente aeroespaciales, donde la precisión es fundamental.
Un lugar donde los métodos indirectos tienen una dificultad particular es en los problemas con las restricciones de desigualdad de ruta. Estos problemas tienden a tener soluciones para las que la restricción está parcialmente activa. Al construir las ecuaciones adjuntas para un método indirecto, el usuario debe escribir explícitamente cuándo la restricción está activa en la solución, lo cual es difícil de saber a priori. Una solución es usar un método directo para calcular una estimación inicial, que luego se usa para construir un problema multifase donde se prescribe la restricción. El problema resultante se puede resolver con precisión utilizando un método indirecto. [18]
Disparo frente a colocación
Los métodos de disparo único se utilizan mejor para problemas en los que el control es muy simple (o hay una suposición inicial extremadamente buena). Por ejemplo, un problema de planificación de una misión satelital donde el único control es la magnitud y la dirección de un impulso inicial de los motores. [24]
Los disparos múltiples tienden a ser buenos para problemas con un control relativamente simple, pero una dinámica complicada. Aunque se pueden usar restricciones de ruta, hacen que el programa no lineal resultante sea relativamente difícil de resolver.
Los métodos de colocación directa son buenos para problemas en los que la precisión del control y el estado son similares. Estos métodos tienden a ser menos precisos que otros (debido a su bajo orden), pero son particularmente robustos para problemas con restricciones de ruta difíciles.
Los métodos de colocación ortogonal son los mejores para obtener soluciones de alta precisión a problemas donde la precisión de la trayectoria de control es importante. Algunas implementaciones tienen problemas con las restricciones de ruta. Estos métodos son particularmente buenos cuando la solución es suave.
Software
Ejemplos de programas de optimización de trayectoria incluyen:
- APMonitor : software de optimización a gran escala basado en colocación ortogonal.
- ASTOS : Software de análisis, simulación y optimización de trayectorias para aplicaciones espaciales. El software ASTOS es una herramienta multipropósito para aplicaciones espaciales. Diseñado originalmente para la optimización de trayectorias, ahora proporciona módulos para una variedad de capacidades de análisis, simulación y diseño.
- Bocop - El solucionador de control óptimo : caja de herramientas de código abierto para problemas de control óptimos (interfaz gráfica de usuario avanzada y fácil de usar para un uso eficiente).
- PyKEP , PyGMO (Código abierto, de la Agencia Espacial Europea para la optimización de la trayectoria interplanetaria)
- Sistema de optimización y diseño de trayectorias de Copernicus [1]
- DIDO : [36] Caja de herramientas de control óptimo de MATLAB utilizada en la NASA y la academia y distribuida por Elissar Global .
- QuickShot : una herramienta de simulación de trayectoria de 3-DOF / 4-DOF de propósito general y multiproceso para una optimización global sólida de SpaceWorks Enterprises, Inc. [37] [38] [39]
- DIRCOL : un software de optimización de trayectoria de propósito general basado en la colocación directa.
- Drake : una caja de herramientas de planificación, control y análisis para sistemas dinámicos no lineales.
- FALCON.m : La herramienta de control óptimo FSD para Matlab, desarrollada en el Instituto de Dinámica de Sistemas de Vuelo de la Universidad Técnica de Munich.
- Gekko (software de optimización) : un paquete de optimización Python [40] con aplicaciones de optimización de trayectoria de aeronaves HALE [41] y sistemas de cables aéreos remolcados. [42] [43]
- Herramienta de análisis de misión general
- GPOPS-II ( G eneral P INALIDAD OP timal de control S oftware) Resuelve los problemas de optimización trayectoria de fases múltiples. (Matlab) [22]
- HamPath : Sobre la resolución de problemas de control óptimo mediante métodos indirectos y de seguimiento de rutas (interfaces Matlab y Python).
- JModelica.org (plataforma de código abierto basada en Modelica para optimización dinámica)
- LOTOS (software de optimización de trayectoria de transferencia de órbita de bajo empuje) de Astos Solutions
- Software MIDACO Optimization especialmente desarrollado para trayectorias espaciales interplanetarias. (Disponible en Matlab, Octave, Python, C / C ++, R y Fortran)
- OpenOCL Open Optimal Control Library, biblioteca de modelado de control óptimo, diferenciación automática, optimización no lineal, Matlab / Octave.
- OTIS (trayectorias óptimas por simulación implícita) [2]
- Paquete Opty Python que utiliza SymPy para la descripción simbólica de ecuaciones diferenciales ordinarias para formar las restricciones necesarias para resolver problemas de identificación de parámetros y control óptimos utilizando el método de colocación directa y la programación no lineal.
- POST (programa para optimizar trayectorias simuladas) [3] , [4]
- OptimTraj : una biblioteca de optimización de trayectoria de código abierto para Matlab
- ZOOM, diseño conceptual y análisis de configuraciones y trayectorias de cohetes) [5]
- PSOPT, un paquete de software de control óptimo de código abierto escrito en C ++ que utiliza métodos de colocación directa [6]
- OpenGoddard Un paquete de software de control óptimo de código abierto escrito en Python que utiliza métodos pseudospectrales.
- Systems Tool Kit Astrogator (STK Astrogator) : módulo de análisis especializado para maniobras orbitales y diseño de trayectorias espaciales. Astrogator ofrece optimización de trayectoria basada en colocación ortogonal utilizando modelos de fuerza de alta fidelidad.
- beluga : Un paquete Python de código abierto para la optimización de trayectorias utilizando métodos indirectos.
Aquí puede encontrar una colección de herramientas de optimización de trayectoria de empuje bajo, incluidos los miembros del conjunto de herramientas de trayectoria de empuje bajo (LTTT): LTTT Suite Optimization Tools .
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