En álgebra , un anillo de división , también llamado campo sesgado , es un anillo en el que es posible la división . Específicamente, es un no nulo anillo [1] en el que elemento de cada distinto de cero una tiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento generalmente denota un -1 , de manera que una un -1 = un -1 a = 1 . Entonces, la división se puede definir como a / b = a b –1 , pero esta notación generalmente se evita, ya que uno puede tener a b –1 ≠ b –1 a .
Un anillo de división es generalmente un anillo no conmutativo . Es conmutativo si y solo si es un campo , en cuyo caso el término "anillo de división" se usa raramente, excepto para las propiedades de los anillos de división que son verdaderas incluso si son conmutativas o en la prueba de que un anillo de división específico es conmutativo. . Por ejemplo, el pequeño teorema de Wedderburn afirma que todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto, campos finitos .
Históricamente, los anillos de división a veces se denominaban campos, mientras que los campos se denominaban "campos conmutativos". [5] En algunos idiomas, como el francés , la palabra equivalente a "campo" ("corps") se usa tanto para casos conmutativos como no conmutativos, y la distinción entre los dos casos se hace agregando calificativos como "corps commutatif" (campo conmutativo) o "corps gauche" (campo sesgado).
Todos los anillos de división son simples . Es decir, no tienen un ideal de dos caras además del ideal cero y él mismo.
Todos los campos son anillos de división; ejemplos más interesantes son los anillos de división no conmutativos. El mejor ejemplo conocido es el anillo de cuaterniones H . Si permitimos solo coeficientes racionales en lugar de reales en las construcciones de los cuaterniones, obtenemos otro anillo de división. En general, si R es un anillo y S es un módulo simple sobre R , entonces, según el lema de Schur , el anillo de endomorfismo de S es un anillo de división; [6] Cada anillo de división surge de esta manera a partir de algún módulo simple.
Gran parte del álgebra lineal se puede formular, y sigue siendo correcta, para módulos sobre un anillo de división D en lugar de espacios vectorialessobre un campo. Al hacerlo, debe especificarse si se están considerando módulos de la derecha o de la izquierda, y se necesita cierto cuidado para distinguir correctamente la izquierda y la derecha en las fórmulas. Trabajando en coordenadas, los elementos de un módulo derecho de dimensión finita se pueden representar mediante vectores columna, que se pueden multiplicar a la derecha por escalares y a la izquierda por matrices (que representan mapas lineales); para los elementos de un módulo izquierdo de dimensión finita, se deben utilizar los vectores de fila, que se pueden multiplicar a la izquierda por escalares y a la derecha por matrices. El módulo dual de un módulo derecho es un módulo izquierdo y viceversa. La transposición de una matriz debe verse como una matriz sobre el anillo de división opuesto D op para que la regla ( AB ) T = BT A T para seguir siendo válido.