En física , la aproximación de envolvente de variación lenta [1] ( SVEA , a veces también llamada aproximación de amplitud de variación lenta o SVAA ) es la suposición de que la envolvente de un pulso de onda que viaja hacia adelante varía lentamente en el tiempo y el espacio en comparación con un período o longitud de onda . Esto requiere que el espectro de la señal sea de banda estrecha, por lo que también se conoce como aproximación de banda estrecha .
La aproximación envolvente de variación lenta se utiliza a menudo porque las ecuaciones resultantes son en muchos casos más fáciles de resolver que las ecuaciones originales, reduciendo el orden de todas o algunas de las derivadas parciales de orden superior . Pero es necesario justificar la validez de los supuestos que se hacen.
Ejemplo
Por ejemplo, considere la ecuación de ondas electromagnéticas :
Si k 0 y ω 0 son el número de onda y la frecuencia angular de la onda portadora (característica) para la señal E ( r , t ), la siguiente representación es útil:
dónde denota la parte real de la cantidad entre paréntesis.
En la aproximación de envolvente de variación lenta (SVEA) se supone que la amplitud compleja E 0 ( r , t ) solo varía lentamente con r y t . Esto implica inherentemente que E 0 ( r , t ) representa ondas que se propagan hacia adelante, predominantemente en la dirección k 0 . Como resultado de la variación lenta de E 0 ( r , t ), al tomar derivadas, las derivadas de orden más alto pueden despreciarse: [2]
- y con
Aproximación completa
En consecuencia, la ecuación de onda se aproxima en el SVEA como:
Es conveniente elegir k 0 y ω 0 de manera que satisfagan la relación de dispersión :
Esto da la siguiente aproximación a la ecuación de onda, como resultado de la aproximación de envolvente que varía lentamente:
Esta es una ecuación diferencial parcial hiperbólica , como la ecuación de onda original, pero ahora de primer orden en lugar de segundo orden. Es válido para ondas coherentes que se propagan hacia adelante en direcciones cercanas a la dirección k 0 . Las escalas de espacio y tiempo en las que varía E 0 son generalmente mucho más largas que la longitud de onda espacial y el período temporal de la onda portadora. Por lo tanto, una solución numérica de la ecuación de la envolvente puede utilizar pasos de espacio y tiempo mucho más grandes, lo que resulta en un esfuerzo computacional significativamente menor.
Aproximación parabólica
Suponga que la propagación de la onda es predominantemente en la dirección z , y que k 0 se toma en esta dirección. La SVEA solo se aplica a las derivadas espaciales de segundo orden en la dirección z y en el tiempo. Sies el operador de Laplace en el plano x - y , el resultado es: [3]
Ésta es una ecuación diferencial parcial parabólica . Esta ecuación tiene una validez mejorada en comparación con la SVEA completa: representa ondas que se propagan en direcciones significativamente diferentes de la dirección z .
Límite alternativo de validez
En el caso unidimensional, otra condición suficiente para la validez de la SVEA es
- y ,con y
donde l g es la longitud sobre la que se amplifica el pulso de radiación, l p es el ancho del pulso y v es la velocidad de grupo del sistema de radiación. [4]
Estas condiciones son mucho menos restrictivas en el límite relativista donde v / c es cercano a 1, como en un láser de electrones libres , en comparación con las condiciones habituales requeridas para la validez de SVEA.
Ver también
Referencias
- ↑ Arecchi, F .; Bonifacio, R. (1965). "Teoría de los amplificadores ópticos máser". Revista IEEE de Electrónica Cuántica . 1 (4): 169-178. Código bibliográfico : 1965IJQE .... 1..169A . doi : 10.1109 / JQE.1965.1072212 .
- ^ Carnicero, Paul N .; Cotter, David (1991). Los elementos de la óptica no lineal (Reprint ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 216. ISBN 0-521-42424-0.
- ^ Svelto, Orazio (1974). "Modulación de rayos láser con autoenfoque, auto-atrapamiento y auto-fase". En Wolf, Emil (ed.). Progreso en Óptica . 12 . Holanda Septentrional . págs. 23-25. ISBN 0-444-10571-9.
- ^ Bonifacio, R .; Caloi, RM; Maroli, C. (1993). "La aproximación envolvente que varía lentamente revisada". Comunicaciones ópticas . 101 (3–4): 185–187. Código Bibliográfico : 1993OptCo.101..185B . doi : 10.1016 / 0030-4018 (93) 90363-A .