Álgebra suave

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En álgebra , se dice que un k - álgebra A conmutativa es 0-suave si satisface la siguiente propiedad de elevación: dado un k - álgebra C , un ideal N de C cuyo cuadrado es cero y un k -álgebra map , existe un k -mapa algebraico tal que u es v seguido por el mapa canónico. Si existe como máximo uno de tales levantamientos v , entonces se dice que A es 0-no ramificado (o 0-puro ). Se dice que es A${\displaystyle u:A\a C/N}$${\ estilo de visualización v: A \ a C}$0-étale si es 0-liso y 0-sin ramificar . La noción de 0-suavidad también se llama suavidad formal .

Una k - álgebra A finitamente generada es 0-suave sobre k si y solo si Spec A es un esquema suave sobre k .

Una extensión de campo algebraica separable L de k es 0-étale sobre k . ^[1] El anillo formal de la serie de potencias es 0-suave solo cuando y (es decir, k tiene una base p finita ). ^[2]${\displaystyle k[\![t_{1},\ldots,t_{n}]\!]}$${\ estilo de visualización \ nombre del operador {char} k = p> 0}$${\displaystyle [k:k^{p}]<\infty}$

Sea B un álgebra A y supongamos que a B se le da la topología I -ádica, I un ideal de B . Decimos que B es I -suave sobre A si satisface la propiedad de elevación: dado un A - álgebra C , un N ideal de C cuyo cuadrado es cero y un mapa de A -álgebra que es continuo cuando se le da la topología discreta, existe un mapa de A -álgebra tal que u es v${\displaystyle u:B\a C/N}$${\ estilo de visualización C/N}$${\displaystyle v:B\to C}$seguido del mapa canónico. Como antes, si existe como máximo uno de tales ascensores v , entonces se dice que B es I -no ramificado sobre A (o I -puro ). Se dice que B es I -étale si es I -suave e I -sin ramificaciones . Si I es el cero ideal y A es un campo, estas nociones coinciden con 0-suave, etc., como se definió anteriormente.

Un ejemplo estándar es este: sea A un anillo, y Entonces B es I -suave sobre A .${\displaystyle B=A[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]}$${\displaystyle I=(t_{1},\ldots ,t_{n}).}$

Sea A un k -álgebra local noetheriana con ideal maximal . Entonces A es suave sobre k si y sólo si es un anillo regular para cualquier campo de extensión finito de k . ^[3]${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A\otimes _{k}k'}$${\displaystyle k'}$

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