En geometría algebraica , un esquema uniforme sobre un campo es un esquema que se aproxima bien por el espacio afín cerca de cualquier punto. La suavidad es una forma de precisar la noción de un esquema sin puntos singulares . Un caso especial es la noción de variedad uniforme en un campo. Los esquemas suaves juegan un papel en la geometría algebraica de variedades en topología.
Definición
Primero, sea X un esquema afín de tipo finito sobre un campo k . De manera equivalente, X tiene una inmersión cerrada en el espacio afín A n sobre k para algún número natural n . Entonces X es el subesquema cerrado definido por algunas ecuaciones g 1 = 0, ..., g r = 0, donde cada g i está en el anillo polinomial k [ x 1 , ..., x n ]. El esquema afín X se alisar de dimensión m sobre k si X tiene dimensión al menos m en una zona de cada punto, y la matriz de derivados de (∂ g i / ∂ x j ) tiene rango al menos n - m en todas partes en X . [1] (Se deduce que X tiene una dimensión igual am en una vecindad de cada punto.) La suavidad es independiente de la elección de inmersión de X en un espacio afín.
Se entiende que la condición en la matriz de derivadas significa que el subconjunto cerrado de X donde todos ( n - m ) × ( n - m ) menores de la matriz de derivadas son cero es el conjunto vacío. De manera equivalente, el ideal en el anillo polinomial generado por todos g i y todos esos menores es el anillo polinomial completo.
En términos geométricos, la matriz de derivadas (∂ g i / ∂ x j ) en un punto p en X da un mapa lineal F n → F r , donde F es el campo de residuos de p . El núcleo de este mapa se llama espacio tangente de Zariski de X en p . La suavidad de X significa que la dimensión del espacio tangente de Zariski es igual a la dimensión de X cerca de cada punto; en un punto singular , el espacio tangente de Zariski sería mayor.
De manera más general, un esquema X sobre un campo k es suave sobre k si cada punto de X tiene una vecindad abierta que es un esquema afín suave de alguna dimensión sobre k . En particular, un esquema uniforme sobre k es localmente de tipo finito .
Existe una noción más general de un morfismo suave de esquemas, que es aproximadamente un morfismo con fibras suaves. En particular, un esquema X es suave sobre un campo k si y solo si el morfismo X → Spec k es suave.
Propiedades
Un esquema suave sobre un campo es regular y, por lo tanto, normal . En particular, se reduce un esquema uniforme sobre un campo .
Defina una variedad sobre un campo k para que sea un esquema integral separado de tipo finito sobre k . Entonces, cualquier esquema suave separado de tipo finito sobre k es una unión disjunta finita de variedades suaves sobre k .
Para una variedad uniforme X sobre los números complejos, el espacio X ( C ) de puntos complejos de X es una variedad compleja , utilizando la topología clásica (euclidiana). Asimismo, para una variedad uniforme X sobre los números reales, el espacio X ( R ) de los puntos reales es una variedad real , posiblemente vacía.
Para cualquier esquema X que es a nivel local de tipo finito sobre un campo k , hay una coherente gavilla Ω 1 de los diferenciales en X . El esquema X es uniforme sobre k si y solo si Ω 1 es un conjunto de vectores de rango igual a la dimensión de X cerca de cada punto. [2] En ese caso, Ω 1 se llama el fibrado cotangente de X . El paquete tangente de un esquema uniforme sobre k se puede definir como el paquete dual, TX = (Ω 1 ) * .
Suavidad es una propiedad geométrica , lo que significa que para cualquier extensión campo E de k , un esquema X es suave sobre k si y sólo si el esquema X E : = X × Spec k Spec E es suavizar E . Para un campo perfecto k , un esquema X es suave sobre k si y solo si X es localmente de tipo finito sobre k y X es regular .
Suavidad genérica
Se dice que un esquema X es genéricamente liso de dimensión n sobre k si X contiene un subconjunto denso abierto que es liso de dimensión n sobre k . Cada variedad sobre un campo perfecto (en particular, un campo algebraicamente cerrado) es genéricamente suave. [3]
Ejemplos de
- El espacio afín y el espacio proyectivo son esquemas uniformes sobre un campo k .
- Un ejemplo de una hipersuperficie lisa en el espacio proyectivo P n sobre k es la hipersuperficie de Fermat x 0 d + ... + x n d = 0, para cualquier entero positivo d que sea invertible en k .
- Un ejemplo de un esquema singular (no uniforme) sobre un campo k es el subesquema cerrado x 2 = 0 en la línea afín A 1 sobre k .
- Un ejemplo de una variedad singular (no suave) sobre k es la curva cúspide cúbica x 2 = y 3 en el plano afín A 2 , que es suave fuera del origen ( x , y ) = (0,0).
- Una variedad X de dimensión 0 sobre un campo k tiene la forma X = Spec E , donde E es un campo de extensión finito de k . La variedad X es uniforme sobre k si y solo si E es una extensión separable de k . Por lo tanto, si E no es separable sobre k , entonces X es un esquema regular pero no es uniforme sobre k . Por ejemplo, sea k el campo de funciones racionales F p ( t ) para un número primo p , y sea E = F p ( t 1 / p ); entonces Spec E es una variedad de dimensión 0 sobre k, que es un esquema regular, pero no uniforme sobre k .
- Las variedades de Schubert en general no son suaves.
Notas
- ^ La definición de suavidad utilizada en este artículo es equivalente a la definición de suavidad de Grothendieck en los Teoremas 30.2 y Teorema 30.3 en: Matsumura, Teoría del anillo conmutativo (1989).
- ^ Teorema 30.3, Matsumura, Teoría del anillo conmutativo (1989).
- ^ Lema 1 en la sección 28 y Corolario del Teorema 30.5, Matsumura, Teoría del anillo conmutativo (1989).
Referencias
- Notas de D. Gaitsgory sobre planitud y suavidad en http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461
Ver también
- Morfismo Étale
- Dimensión de una variedad algebraica
- Glosario de teoría de esquemas
- Terminación suave