Armónicos sólidos

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En física y matemáticas , los armónicos sólidos son soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas polares esféricas , asumidas como funciones (suaves) . Hay dos tipos: los armónicos sólidos regulares , que están bien definidos en el origen y los armónicos sólidos irregulares , que son singulares en el origen. Ambos conjuntos de funciones desempeñan un papel importante en la teoría del potencial y se obtienen redimensionando los armónicos esféricos de forma adecuada:${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$

Introduciendo r , θ y φ para las coordenadas polares esféricas del 3 vector r , y asumiendo que es una función (suave) , podemos escribir la ecuación de Laplace de la siguiente forma${\ estilo de visualización \ Phi}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

La sustitución de Φ( r ) = F ( r ) Y ^m _l en la ecuación de Laplace da, después de dividir la función armónica esférica, la siguiente ecuación radial y su solución general,

Los armónicos sólidos regulares corresponden a polinomios homogéneos armónicos , es decir, polinomios homogéneos que son soluciones a la ecuación de Laplace .

(y análogamente para el armónico sólido irregular) en lugar de la normalización a la unidad. Esto es conveniente porque en muchas aplicaciones el factor de normalización de Racah aparece sin cambios a lo largo de las derivaciones.

con _ La cantidad entre paréntesis es nuevamente un coeficiente de Clebsch-Gordan ,${\ estilo de visualización | r | \ leq | un | \,}$

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