En matemáticas y ciencias físicas , los armónicos esféricos son funciones especiales definidas en la superficie de una esfera . A menudo se emplean para resolver ecuaciones diferenciales parciales en muchos campos científicos.
Dado que los armónicos esféricos forman un conjunto completo de funciones ortogonales y, por lo tanto, una base ortonormal , cada función definida en la superficie de una esfera se puede escribir como una suma de estos armónicos esféricos. Esto es similar a las funciones periódicas definidas en un círculo que se pueden expresar como una suma de funciones circulares (senos y cosenos) a través de series de Fourier . Como los senos y cosenos en las series de Fourier, los armónicos esféricos pueden organizarse por frecuencia angular (espacial) , como se ve en las filas de funciones en la ilustración de la derecha. Además, los armónicos esféricos son funciones de base para representaciones irreductibles de SO (3) , el grupo de rotaciones en tres dimensiones, y por lo tanto juegan un papel central en la discusión teórica de grupo de SO (3).
Los armónicos esféricos se originan al resolver la ecuación de Laplace en los dominios esféricos. Las funciones que resuelven la ecuación de Laplace se llaman armónicos. A pesar de su nombre, los armónicos esféricos toman su forma más simple en coordenadas cartesianas , donde pueden definirse como polinomios homogéneos de grado en que obedecen a la ecuación de Laplace. La conexión con coordenadas esféricas surge inmediatamente si se usa la homogeneidad para extraer un factor de dependencia radial del polinomio de grado antes mencionado ; el factor restante se puede considerar en función de las coordenadas angulares esféricas y sólo, o de forma equivalente, del vector unitario de orientación especificado por estos ángulos. En este contexto, pueden verse como la parte angular de un conjunto de soluciones a la ecuación de Laplace en tres dimensiones, y este punto de vista se toma a menudo como una definición alternativa.
Un conjunto específico de armónicos esféricos, denotado o , se conocen como armónicos esféricos de Laplace, ya que fueron introducidos por primera vez por Pierre Simon de Laplace en 1782. [1] Estas funciones forman un sistema ortogonal y, por lo tanto, son básicas para la expansión de una función general en la esfera como se mencionó anteriormente.
Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, incluida la representación de campos electromagnéticos y electrostáticos multipolares , configuraciones electrónicas , campos gravitacionales , geoides , campos magnéticos de cuerpos planetarios y estrellas, y la radiación cósmica de fondo de microondas . En los gráficos por computadora en 3D , los armónicos esféricos juegan un papel en una amplia variedad de temas, incluida la iluminación indirecta ( oclusión ambiental , iluminación global , transferencia de radiación precalculada , etc.) y el modelado de formas 3D.
Historia
Los armónicos esféricos se investigaron por primera vez en relación con el potencial newtoniano de la ley de gravitación universal de Newton en tres dimensiones. En 1782, Pierre-Simon de Laplace había determinado, en su Mécanique Céleste , que el potencial gravitacional en un punto x asociado con un conjunto de masas puntuales m i ubicado en los puntos x i fue dado por
Cada término en la suma anterior es un potencial newtoniano individual para una masa puntual. Justo antes de ese momento, Adrien-Marie Legendre había investigado la expansión del potencial newtoniano en potencias de r = | x | y r 1 = | x 1 |. Descubrió que si r ≤ r 1 entonces
donde γ es el ángulo entre los vectores x y x 1 . Las funcionesson los polinomios de Legendre y pueden derivarse como un caso especial de armónicos esféricos. Posteriormente, en su memoria de 1782, Laplace investigó estos coeficientes utilizando coordenadas esféricas para representar el ángulo γ entre x 1 y x . (Consulte Aplicaciones de los polinomios de Legendre en física para obtener un análisis más detallado).
En 1867, William Thomson (Lord Kelvin) y Peter Guthrie Tait introdujeron los armónicos esféricos sólidos en su Tratado de filosofía natural , y también introdujeron por primera vez el nombre de "armónicos esféricos" para estas funciones. Los armónicos sólidos eran soluciones polinomiales homogéneas .de la ecuación de Laplace
Al examinar la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, Thomson y Tait recuperaron los armónicos esféricos de Laplace. (Véase la sección siguiente, "Representación polinomial armónica".) El término "coeficientes de Laplace" fue empleado por William Whewell para describir el sistema particular de soluciones introducido a lo largo de estas líneas, mientras que otros reservaron esta designación para los armónicos esféricos zonales que habían sido apropiadamente presentado por Laplace y Legendre.
El desarrollo de la serie de Fourier en el siglo XIX hizo posible la solución de una amplia variedad de problemas físicos en dominios rectangulares, como la solución de la ecuación de calor y la ecuación de onda . Esto podría lograrse mediante la expansión de funciones en una serie de funciones trigonométricas . Mientras que las funciones trigonométricas en una serie de Fourier representan los modos fundamentales de vibración en una cuerda , los armónicos esféricos representan los modos fundamentales de vibración de una esfera de la misma manera. Muchos aspectos de la teoría de las series de Fourier podrían generalizarse tomando expansiones en armónicos esféricos en lugar de funciones trigonométricas. Además, de manera análoga a cómo las funciones trigonométricas se pueden escribir de manera equivalente como exponenciales complejas , los armónicos esféricos también poseían una forma equivalente a las funciones con valores complejos. Esto fue una bendición para los problemas que poseen simetría esférica , como los de la mecánica celeste originalmente estudiados por Laplace y Legendre.
La prevalencia de los armónicos esféricos ya en la física sentó las bases para su importancia posterior en el nacimiento de la mecánica cuántica en el siglo XX . Los armónicos esféricos (de valor complejo)son funciones propias del cuadrado del operador de momento angular orbital
y por lo tanto representan las diferentes configuraciones cuantificadas de orbitales atómicos .
Armónicos esféricos de Laplace
La ecuación de Laplace impone que el Laplaciano de un campo escalar f es cero. (Aquí se entiende que el campo escalar es complejo, es decir, que corresponde a una función (suave).) En coordenadas esféricas esto es: [2]
Considere el problema de encontrar soluciones de la forma f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Por separación de variables , resultan dos ecuaciones diferenciales imponiendo la ecuación de Laplace:
La segunda ecuación se puede simplificar asumiendo que Y tiene la forma Y ( θ , φ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) . La aplicación de la separación de variables nuevamente a la segunda ecuación da paso al par de ecuaciones diferenciales
para algún número m . A priori, m es una constante compleja, pero debido a que Φ debe ser una función periódica cuyo período divide uniformemente a 2 π , m es necesariamente un número entero y Φ es una combinación lineal de las exponenciales complejas e ± imφ . La función solución Y ( θ , φ ) es regular en los polos de la esfera, donde θ = 0, π . La imposición de esta regularidad en la solución Θ de la segunda ecuación en los puntos de frontera del dominio es un problema de Sturm-Liouville que obliga al parámetro λ a tener la forma λ = ℓ ( ℓ + 1) para algún entero no negativo con ℓ ≥ | m | ; esto también se explica a continuación en términos del momento angular orbital . Además, un cambio de variables t = cos θ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre , cuya solución es un múltiplo del polinomio de Legendre asociado P ℓ m (cos θ ) . Finalmente, la ecuación para R tiene soluciones de la forma R ( r ) = A r ℓ + B r - ℓ - 1 ; requiriendo que la solución sea regular en todas las fuerzas de R 3 B = 0 . [3]
Aquí se asumió que la solución tenía la forma especial Y ( θ , φ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) . Para un valor dado de ℓ , hay 2 ℓ + 1 soluciones independientes de esta forma, una para cada entero m con - ℓ ≤ m ≤ ℓ . Estas soluciones angularesson un producto de funciones trigonométricas , aquí representadas como una exponencial compleja , y polinomios de Legendre asociados:
que cumplen
Aquí se llama función armónica esférica de grado ℓ y orden m ,es un polinomio de Legendre asociado , N es una constante de normalización y θ y φ representan colatitud y longitud, respectivamente. En particular, la colatitude θ , o ángulo polar, varía de 0 en el Polo Norte, a π / 2 en el Ecuador, a π en el Polo Sur, y la longitud φ , o acimut , puede asumir todos los valores con 0 ≤ φ <2 π . Para un entero fijo ℓ , toda solución Y ( θ , φ ) ,, del problema de los valores propios
es una combinación lineal de Y ℓ m. De hecho, para cualquier solución de este tipo, r ℓ Y ( θ , φ ) es la expresión en coordenadas esféricas de un polinomio homogéneo eso es armónico (ver más abajo ), por lo que contar las dimensiones muestra que hay 2 ℓ + 1 linealmente independientes de tales polinomios.
La solucion general a la ecuación de Laplace en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas multiplicadas por el factor de escala apropiado r ℓ ,
donde el son constantes y los factores r ℓ Y ℓ m se conocen como armónicos sólidos ( regulares ) . Tal expansión es válida en la pelota.
Para , los armónicos sólidos con potencias negativas de (los armónicos sólidos irregulares ) se eligen en su lugar. En ese caso, es necesario expandir la solución de regiones conocidas en la serie Laurent (aproximadamente), en lugar de la serie de Taylor (aproximadamente) utilizado anteriormente, para hacer coincidir los términos y encontrar los coeficientes de expansión de la serie .
Momento angular orbital
En mecánica cuántica, los armónicos esféricos de Laplace se entienden en términos del momento angular orbital [4]
El ħ es convencional en mecánica cuántica; conviene trabajar en unidades en las que ħ = 1 . Los armónicos esféricos son funciones propias del cuadrado del momento angular orbital.
Los armónicos esféricos de Laplace son las funciones propias conjuntas del cuadrado del momento angular orbital y el generador de rotaciones sobre el eje azimutal:
Estos operadores conmutan y son operadores autoadjuntos densamente definidos en el espacio de Hilbert ponderado de funciones f integrables al cuadrado con respecto a la distribución normal como la función de ponderación en R 3 :
Además, L 2 es un operador positivo .
Si Y es una función propia conjunta de L 2 y L z , entonces, por definición
para algunos números reales my λ. Aquí m debe ser de hecho un número entero, ya que Y debe ser periódico en la coordenada φ con período un número que divide uniformemente 2π. Además, dado que
y cada uno de L x , L y , L z son autoadjuntos, se deduce que λ ≥ m 2 .
Denote este espacio propio conjunto por E λ, m , y defina los operadores de subida y bajada por
Entonces L + y L - conmutan con L 2 , y el álgebra de Lie generada por L + , L - , L z es el álgebra de Lie lineal especial de orden 2,, con relaciones de conmutación
Así L + : E λ, m → E λ, m +1 (es un "operador de subida") y L - : E λ, m → E λ, m −1 (es un "operador de bajada"). En particular, Lk
+ : E λ, m → E λ, m + k debe ser cero para k suficientemente grande, porque la desigualdad λ ≥ m 2 debe mantenerse en cada uno de los espacios propios conjuntos no triviales. Sea Y ∈ E λ, m una función propia conjunta distinta de cero, y sea k el mínimo entero tal que
Entonces, desde
resulta que
Por tanto, λ = ℓ (ℓ + 1) para el entero positivo ℓ = m + k .
Todo lo anterior se ha resuelto en la representación de coordenadas esféricas, pero puede expresarse de manera más abstracta en la base completa de la esfera esférica ortonormal .
Representación polinomial armónica
Consulte también la sección siguiente sobre armónicos esféricos en dimensiones superiores .
Los armónicos esféricos se pueden expresar como la restricción a la esfera unitaria de ciertas funciones polinomiales . Específicamente, decimos que una función polinomial (de valor complejo)es homogéneo de grado Si
para todos los números reales y todo . Nosotros decimos esoes armónico si
- ,
dónde es el laplaciano . Entonces para cada, definimos
Por ejemplo, cuando , es solo el espacio tridimensional de todas las funciones lineales , ya que dicha función es automáticamente armónica. Mientras tanto, cuando, tenemos un espacio de 5 dimensiones:
- .
Para cualquier , el espacio de armónicos esféricos de grado es solo el espacio de restricciones a la esfera de los elementos de . [5] Como se sugiere en la introducción, esta perspectiva es presumiblemente el origen del término "armónico esférico" (es decir, la restricción a la esfera de una función armónica ).
Por ejemplo, para cualquier la formula
define un polinomio homogéneo de grado con dominio y codominio , que resulta ser independiente de . Este polinomio se ve fácilmente como armónico. Si escribimos en coordenadas esféricas y luego restringir a , obtenemos
que se puede reescribir como
Después de usar la fórmula para el polinomio de Legendre asociado , podemos reconocer esto como la fórmula para el armónico esférico [6] (Consulte la sección siguiente sobre casos especiales de armónicos esféricos).
Convenciones
Ortogonalidad y normalización
Varias normalizaciones diferentes son de uso común para las funciones armónicas esféricas de Laplace . En toda la sección, usamos la convención estándar que para(ver polinomios de Legendre asociados )
que es la normalización natural dada por la fórmula de Rodrigues.
En acústica , [7] los armónicos esféricos de Laplace se definen generalmente como (esta es la convención utilizada en este artículo)
mientras que en mecánica cuántica : [8] [9]
dónde son polinomios de Legendre asociados sin la fase Condon-Shortley (para evitar contar la fase dos veces).
En ambas definiciones, los armónicos esféricos son ortonormales.
donde δ ij es el delta de Kronecker y d Ω = sen θ d φ d θ. Esta normalización se utiliza en mecánica cuántica porque asegura que la probabilidad se normaliza, es decir
Las disciplinas de la geodesia [10] y el uso del análisis espectral
que poseen potencia unitaria
La comunidad de magnetics [10] , por el contrario, utiliza armónicos semi-normalizados de Schmidt
que tienen la normalización
En mecánica cuántica, esta normalización también se usa a veces, y se denomina normalización de Racah en honor a Giulio Racah .
Se puede demostrar que todas las funciones armónicas esféricas normalizadas anteriores satisfacen
donde el superíndice * denota conjugación compleja. Alternativamente, esta ecuación se sigue de la relación de las funciones armónicas esféricas con la matriz D de Wigner .
Fase de Condon-Shortley
Una fuente de confusión con la definición de las funciones armónicas esféricas se refiere a un factor de fase de (-1) m , comúnmente conocida como la fase Condon- Shortley en la literatura de mecánica cuántica. En la comunidad de la mecánica cuántica, es una práctica común incluir este factor de fase en la definición de los polinomios de Legendre asociados o agregarlo a la definición de las funciones armónicas esféricas. No es necesario utilizar la fase Condon-Shortley en la definición de las funciones armónicas esféricas, pero incluirla puede simplificar algunas operaciones de mecánica cuántica, especialmente la aplicación de operadores de subida y bajada . Las comunidades de geodesia [11] y magnética nunca incluyen el factor de fase Condon-Shortley en sus definiciones de las funciones armónicas esféricas ni en las de los polinomios de Legendre asociados. [ cita requerida ]
Forma real
Una base real de armónicos esféricos puede definirse en términos de sus complejos análogos configurando
La convención de fase de Condon-Shortley se utiliza aquí para mantener la coherencia. Las ecuaciones inversas correspondientes que definen los armónicos esféricos complejos en términos de los armónicos esféricos reales están
Los armónicos esféricos reales a veces se conocen como armónicos esféricos teserales . [12] Estas funciones tienen las mismas propiedades de ortonormalidad que las complejas.sobre. Los armónicos esféricos realescon m > 0 se dice que son de tipo coseno y aquellos con m <0 de tipo seno. La razón de esto se puede ver escribiendo las funciones en términos de los polinomios de Legendre como
Los mismos factores de seno y coseno también se pueden ver en la siguiente subsección que trata de la representación cartesiana.
Consulte aquí para obtener una lista de armónicos esféricos reales hasta e incluyendo, que puede verse que es consistente con el resultado de las ecuaciones anteriores.
Uso en química cuántica
Como se sabe por las soluciones analíticas para el átomo de hidrógeno, las funciones propias de la parte angular de la función de onda son armónicos esféricos. Sin embargo, las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista sin términos magnéticos pueden hacerse reales. Esta es la razón por la que las formas reales se usan ampliamente en funciones básicas para la química cuántica, ya que los programas no necesitan usar álgebra compleja. Aquí, es importante notar que las funciones reales abarcan el mismo espacio que las complejas.
Por ejemplo, como puede verse en la tabla de armónicos esféricos , las funciones p habituales () son direcciones de ejes complejas y mixtas, pero las versiones reales son esencialmente solo x , y y z .
Armónicos esféricos en forma cartesiana
La función generadora de Herglotz
Si se adopta la convención de la mecánica cuántica para la , luego
Aquí, es el vector con componentes , , y
is a vector with complex coefficients. It suffices to take and as real parameters. The essential property of is that it is null:
In naming this generating function after Herglotz, we follow Courant & Hilbert 1962, §VII.7, who credit unpublished notes by him for its discovery.
Essentially all the properties of the spherical harmonics can be derived from this generating function.[13] An immediate benefit of this definition is that if the vector is replaced by the quantum mechanical spin vector operator , such that is the operator analogue of the solid harmonic ,[14] one obtains a generating function for a standardized set of spherical tensor operators, :
The parallelism of the two definitions ensures that the 's transform under rotations (see below) in the same way as the 's, which in turn guarantees that they are spherical tensor operators, , with and , obeying all the properties of such operators, such as the Clebsch-Gordan composition theorem, and the Wigner-Eckart theorem. They are, moreover, a standardized set with a fixed scale or normalization.
Separated Cartesian form
The Herglotzian definition yields polynomials which may, if one wishes, be further factorized into a polynomial of and another of and , as follows (Condon–Shortley phase):
and for m = 0:
Here
and
For this reduces to
The factor is essentially the associated Legendre polynomial , and the factors are essentially .
Examples
Using the expressions for , , and listed explicitly above we obtain:
It may be verified that this agrees with the function listed here and here.
Real forms
Using the equations above to form the real spherical harmonics, it is seen that for only the terms (cosines) are included, and for only the terms (sines) are included:
and for m = 0:
Casos y valores especiales
1. When , the spherical harmonics reduce to the ordinary Legendre polynomials:
2. When ,
or more simply in Cartesian coordinates,
3. At the north pole, where , and is undefined, all spherical harmonics except those with vanish:
Propiedades de simetría
The spherical harmonics have deep and consequential properties under the operations of spatial inversion (parity) and rotation.
Parity
The spherical harmonics have definite parity. That is, they are either even or odd with respect to inversion about the origin. Inversion is represented by the operator . Then, as can be seen in many ways (perhaps most simply from the Herglotz generating function), with being a unit vector,
In terms of the spherical angles, parity transforms a point with coordinates to . The statement of the parity of spherical harmonics is then
(This can be seen as follows: The associated Legendre polynomials gives (−1)ℓ+m and from the exponential function we have (−1)m, giving together for the spherical harmonics a parity of (−1)ℓ.)
Parity continues to hold for real spherical harmonics, and for spherical harmonics in higher dimensions: applying a point reflection to a spherical harmonic of degree ℓ changes the sign by a factor of (−1)ℓ.
Rotations
Consider a rotation about the origin that sends the unit vector to . Under this operation, a spherical harmonic of degree and order transforms into a linear combination of spherical harmonics of the same degree. That is,
where is a matrix of order that depends on the rotation . However, this is not the standard way of expressing this property. In the standard way one writes,
where is the complex conjugate of an element of the Wigner D-matrix. In particular when is a rotation of the azimuth we get the identity,
The rotational behavior of the spherical harmonics is perhaps their quintessential feature from the viewpoint of group theory. The 's of degree provide a basis set of functions for the irreducible representation of the group SO(3) of dimension . Many facts about spherical harmonics (such as the addition theorem) that are proved laboriously using the methods of analysis acquire simpler proofs and deeper significance using the methods of symmetry.
Expansión de armónicos esféricos
The Laplace spherical harmonics form a complete set of orthonormal functions and thus form an orthonormal basis of the Hilbert space of square-integrable functions . On the unit sphere , any square-integrable function can thus be expanded as a linear combination of these:
This expansion holds in the sense of mean-square convergence — convergence in L2 of the sphere — which is to say that
The expansion coefficients are the analogs of Fourier coefficients, and can be obtained by multiplying the above equation by the complex conjugate of a spherical harmonic, integrating over the solid angle Ω, and utilizing the above orthogonality relationships. This is justified rigorously by basic Hilbert space theory. For the case of orthonormalized harmonics, this gives:
If the coefficients decay in ℓ sufficiently rapidly — for instance, exponentially — then the series also converges uniformly to f.
A square-integrable function can also be expanded in terms of the real harmonics above as a sum
The convergence of the series holds again in the same sense, namely the real spherical harmonics form a complete set of orthonormal functions and thus form an orthonormal basis of the Hilbert space of square-integrable functions . The benefit of the expansion in terms of the real harmonic functions is that for real functions the expansion coefficients are guaranteed to be real, whereas their coefficients in their expansion in terms of the (considering them as functions ) do not have that property.
Tensores armónicos
Formula
As a rule, harmonic functions are useful in theoretical physics to consider fields in the far field when the distance from charges is much farther than the size of their location. In this case, the radius R is constant and coordinates (θ,φ) are convenient to use. Theoretical physics considers many problems when a solution of Laplace's equation is needed as a function of Сartesian coordinates. At the same time, it is important to get an invariant form of solutions relative to the rotation of space or, generally speaking, relative to group transformations.[15][16][17][18] The simplest tensor solutions – dipole, quadrupole and octupole potentials – are fundamental concepts of general physics:
- , , .
It is easy to verify that they are the harmonic functions. The total set of tensors is defined by the Taylor series of a point charge field potential for :
- ,
where tensor is denoted by symbol and contraction of the tensors is in the brackets [...]. Therefore, the tensor is defined by the -th tensor derivative:
James Clerk Maxwell used similar considerations without tensors naturally.[19] E. W. Hobson analysed Maxwell's method as well.[20] One can see from the equation the following properties that repeat mainly those of solid and spherical functions.
- The tensor is the harmonic polynomial i. e. .
- The trace over each pair of indices is zero, as far as .
- The tensor is a homogeneous polynomial of degree i.e. summed degree of variables x, y, z of each item is equal to .
- The tensor has invariant form under rotations of variables x,y,z i.e. of vector .
- The total set of potentials is complete.
- Contraction of with a tensor is proportional to contraction of two harmonic potentials:
The formula for a harmonic invariant tensor was found in paper.[21] A detailed description is given in the monography.[22] The formula contains products of tensors and Kronecker symbols :
- .
The number of Kronecker symbols is increased by two in the product of each following item when the range of tensors is reduced by two accordingly. The operation symmetrizes a tensor by means of summing all independent permutations of indices. Particularly, each does not need to be transformed into and tensors do not become .
These tensors are convenient to substitute into Laplace's equation:
- .
The last relation is Euler's formula for homogeneous polynomials. The Laplace operator does not affect the index symmetry of tensors. The two relations allow substitution of a tensor into Laplace's equation to check directly that the tensor is a harmonic function:
- .
Simplified moments
The last property is important for theoretical physics for the following reason. Potential of charges outside of their location is integral to be equal to the sum of multipole potentials:
- ,
where is the charge density. The convolution is applied to tensors in the formula naturally. Integrals in the sum are called in physics as multipole moments. Three of them are used actively while others applied less often as their structure (or that of spherical functions) is more complicated. Nevertheless, last property gives the way to simplify calculations in theoretical physics by using integrals with tensor instead of harmonical tensor . Therefore, simplified moments give the same result and there is no need to restrict calculations for dipole, quadrupole and octupole potentials only. It is the advantage of the tensor point of view and not the only that.
Efimov's ladder operator
Spherical functions have a few recurrent formulas.[23] In quantum mechanics recurrent formulas plays a role when they connect functions of quantum states by means of a ladder operator.The property is occurred due to symmetry group of considered system. The vector ladder operator for the invariant harmonical states found in paper[21] and detailed in.[22]
- For that purpose, transformation of -space is applied that conserves form of Laplace equation:
- .
Operator applying to the harmonical tensor potential in -space goes into Efimov's ladder operator acting on transformed tensor in -space:
- ,
where is operator of module of angular momentum:
- .
Operator multiplies harmonic tensor by its degree i.e. by if to recall according spherical function for quantum numbers , . To check action of the ladder operator , one can apply it to dipole and quadrupole tensors:
- ,
- .
Applying successively to we get general form of invariant harmonic tensors:
- .
The operator analogous to the oscillator ladder operator. To trace relation with a quantum operator it is useful to multiply it by to go to reversed space:
- .
As a result, operator goes into the operator of momentum in -space :
- .
It is useful to apply the following properties of .
- Commutator of the coordinate operators is zero:
- .
The property is utterly convenient for calculations.
- The scalar operator product is zero in the space of harmonical functions:
- .
The property gives zero trace of the harmonical tensor over each two indices.
The ladder operator is analogous for that in problem of the quantum oscillator. It generates Glauber states those are created in the quantum theory of electromagnetic radiation fields. [24] It was shown later as theoretical result that the coherent states are intrinsic for any quantum system with a group symmetry to include the rotational group.[25]
Invariant form of spherical harmonics
Spherical harmonics accord with the system of coordinates. Let be the unit vectors along axises X, Y, Z. Denote following unit vectors as and :
- .
Using the vectors, the solid harmonics are equal to:
- =
where is the constant:
Angular momentum is defined by the rotational group. The mechanical momentum is related to the translation group. The ladder operator is the mapping of momentum upon inversion 1/r of 3-d space. It is raising operator. Lowering operator here is the gradient naturally together with partial contraction over pair indices to leave others:
Análisis de espectro
Power spectrum in signal processing
The total power of a function f is defined in the signal processing literature as the integral of the function squared, divided by the area of its domain. Using the orthonormality properties of the real unit-power spherical harmonic functions, it is straightforward to verify that the total power of a function defined on the unit sphere is related to its spectral coefficients by a generalization of Parseval's theorem (here, the theorem is stated for Schmidt semi-normalized harmonics, the relationship is slightly different for orthonormal harmonics):
where
is defined as the angular power spectrum (for Schmidt semi-normalized harmonics). In a similar manner, one can define the cross-power of two functions as
where
is defined as the cross-power spectrum. If the functions f and g have a zero mean (i.e., the spectral coefficients f00 and g00 are zero), then Sff(ℓ) and Sfg(ℓ) represent the contributions to the function's variance and covariance for degree ℓ, respectively. It is common that the (cross-)power spectrum is well approximated by a power law of the form
When β = 0, the spectrum is "white" as each degree possesses equal power. When β < 0, the spectrum is termed "red" as there is more power at the low degrees with long wavelengths than higher degrees. Finally, when β > 0, the spectrum is termed "blue". The condition on the order of growth of Sff(ℓ) is related to the order of differentiability of f in the next section.
Differentiability properties
One can also understand the differentiability properties of the original function f in terms of the asymptotics of Sff(ℓ). In particular, if Sff(ℓ) decays faster than any rational function of ℓ as ℓ → ∞, then f is infinitely differentiable. If, furthermore, Sff(ℓ) decays exponentially, then f is actually real analytic on the sphere.
The general technique is to use the theory of Sobolev spaces. Statements relating the growth of the Sff(ℓ) to differentiability are then similar to analogous results on the growth of the coefficients of Fourier series. Specifically, if
then f is in the Sobolev space Hs(S2). In particular, the Sobolev embedding theorem implies that f is infinitely differentiable provided that
for all s.
Propiedades algebraicas
Addition theorem
A mathematical result of considerable interest and use is called the addition theorem for spherical harmonics. Given two vectors r and r', with spherical coordinates and , respectively, the angle between them is given by the relation
in which the role of the trigonometric functions appearing on the right-hand side is played by the spherical harmonics and that of the left-hand side is played by the Legendre polynomials.
The addition theorem states[26]
(1)
where Pℓ is the Legendre polynomial of degree ℓ. This expression is valid for both real and complex harmonics.[27] The result can be proven analytically, using the properties of the Poisson kernel in the unit ball, or geometrically by applying a rotation to the vector y so that it points along the z-axis, and then directly calculating the right-hand side.[28]
In particular, when x = y, this gives Unsöld's theorem[29]
which generalizes the identity cos2θ + sin2θ = 1 to two dimensions.
In the expansion (1), the left-hand side Pℓ(x·y) is a constant multiple of the degree ℓ zonal spherical harmonic. From this perspective, one has the following generalization to higher dimensions. Let Yj be an arbitrary orthonormal basis of the space Hℓ of degree ℓ spherical harmonics on the n-sphere. Then , the degree ℓ zonal harmonic corresponding to the unit vector x, decomposes as[30]
(2)
Furthermore, the zonal harmonic is given as a constant multiple of the appropriate Gegenbauer polynomial:
(3)
Combining (2) and (3) gives (1) in dimension n = 2 when x and y are represented in spherical coordinates. Finally, evaluating at x = y gives the functional identity
where ωn−1 is the volume of the (n−1)-sphere.
Contraction rule
Another useful identity expresses the product of two spherical harmonics as a sum over spherical harmonics[31]
where the values of and are determined by the selection rules for the 3j-symbols.
Clebsch–Gordan coefficients
The Clebsch–Gordan coefficients are the coefficients appearing in the expansion of the product of two spherical harmonics in terms of spherical harmonics themselves. A variety of techniques are available for doing essentially the same calculation, including the Wigner 3-jm symbol, the Racah coefficients, and the Slater integrals. Abstractly, the Clebsch–Gordan coefficients express the tensor product of two irreducible representations of the rotation group as a sum of irreducible representations: suitably normalized, the coefficients are then the multiplicities.
Visualización de los armónicos esféricos
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points on the sphere where , or alternatively where . Nodal lines of are composed of ℓ circles: there are |m| circles along longitudes and ℓ−|m| circles along latitudes. One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zeros of in the and directions respectively. Considering as a function of , the real and imaginary components of the associated Legendre polynomials each possess ℓ−|m| zeros, each giving rise to a nodal 'line of latitude'. On the other hand, considering as a function of , the trigonometric sin and cos functions possess 2|m| zeros, each of which gives rise to a nodal 'line of longitude'.
When the spherical harmonic order m is zero (upper-left in the figure), the spherical harmonic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. Such spherical harmonics are a special case of zonal spherical functions. When ℓ = |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referred to as sectoral. For the other cases, the functions checker the sphere, and they are referred to as tesseral.
More general spherical harmonics of degree ℓ are not necessarily those of the Laplace basis , and their nodal sets can be of a fairly general kind.[32]
Lista de armónicos esféricos
Analytic expressions for the first few orthonormalized Laplace spherical harmonics that use the Condon–Shortley phase convention:
Mayores dimensiones
The classical spherical harmonics are defined as complex-valued functions on the unit sphere inside three-dimensional Euclidean space . Spherical harmonics can be generalized to higher-dimensional Euclidean space as follows, leading to functions .[33] Let Pℓ denote the space of complex-valued homogeneous polynomials of degree ℓ in n real variables, here considered as functions . That is, a polynomial p is in Pℓ provided that for any real , one has
Let Aℓ denote the subspace of Pℓ consisting of all harmonic polynomials:
These are the (regular) solid spherical harmonics. Let Hℓ denote the space of functions on the unit sphere
obtained by restriction from Aℓ
The following properties hold:
- The sum of the spaces Hℓ is dense in the set C(Sn−1) of continuous functions on Sn−1 with respect to the uniform topology, by the Stone-Weierstrass theorem. As a result, the sum of these spaces is also dense in the space L2(Sn−1) of square-integrable functions on the sphere. Thus every square-integrable function on the sphere decomposes uniquely into a series of spherical harmonics, where the series converges in the L2 sense.
- For all f ∈ Hℓ, one has
- where Δ Sn−1 is the Laplace–Beltrami operator on Sn−1. This operator is the analog of the angular part of the Laplacian in three dimensions; to wit, the Laplacian in n dimensions decomposes as
- It follows from the Stokes theorem and the preceding property that the spaces Hℓ are orthogonal with respect to the inner product from L2(Sn−1). That is to say,
- for f ∈ Hℓ and g ∈ Hk for k ≠ ℓ.
- Conversely, the spaces Hℓ are precisely the eigenspaces of ΔSn−1. In particular, an application of the spectral theorem to the Riesz potential gives another proof that the spaces Hℓ are pairwise orthogonal and complete in L2(Sn−1).
- Every homogeneous polynomial p ∈ Pℓ can be uniquely written in the form[34]
- where pj ∈ Aj. In particular,
An orthogonal basis of spherical harmonics in higher dimensions can be constructed inductively by the method of separation of variables, by solving the Sturm-Liouville problem for the spherical Laplacian
where φ is the axial coordinate in a spherical coordinate system on Sn−1. The end result of such a procedure is[35]
where the indices satisfy |ℓ1| ≤ ℓ2 ≤ ... ≤ ℓn−1 and the eigenvalue is −ℓn−1(ℓn−1 + n−2). The functions in the product are defined in terms of the Legendre function
Conexión con la teoría de la representación
The space Hℓ of spherical harmonics of degree ℓ is a representation of the symmetry group of rotations around a point (SO(3)) and its double-cover SU(2). Indeed, rotations act on the two-dimensional sphere, and thus also on Hℓ by function composition
for ψ a spherical harmonic and ρ a rotation. The representation Hℓ is an irreducible representation of SO(3).[36]
The elements of Hℓ arise as the restrictions to the sphere of elements of Aℓ: harmonic polynomials homogeneous of degree ℓ on three-dimensional Euclidean space R3. By polarization of ψ ∈ Aℓ, there are coefficients symmetric on the indices, uniquely determined by the requirement
The condition that ψ be harmonic is equivalent to the assertion that the tensor must be trace free on every pair of indices. Thus as an irreducible representation of SO(3), Hℓ is isomorphic to the space of traceless symmetric tensors of degree ℓ.
More generally, the analogous statements hold in higher dimensions: the space Hℓ of spherical harmonics on the n-sphere is the irreducible representation of SO(n+1) corresponding to the traceless symmetric ℓ-tensors. However, whereas every irreducible tensor representation of SO(2) and SO(3) is of this kind, the special orthogonal groups in higher dimensions have additional irreducible representations that do not arise in this manner.
The special orthogonal groups have additional spin representations that are not tensor representations, and are typically not spherical harmonics. An exception are the spin representation of SO(3): strictly speaking these are representations of the double cover SU(2) of SO(3). In turn, SU(2) is identified with the group of unit quaternions, and so coincides with the 3-sphere. The spaces of spherical harmonics on the 3-sphere are certain spin representations of SO(3), with respect to the action by quaternionic multiplication.
Conexión con armónicos hemisféricos
Spherical harmonics can be separated into two set of functions.[37] One is hemispherical functions (HSH), orthogonal and complete on hemisphere. Another is complementary hemispherical harmonics (CHSH).
Generalizations
The angle-preserving symmetries of the two-sphere are described by the group of Möbius transformations PSL(2,C). With respect to this group, the sphere is equivalent to the usual Riemann sphere. The group PSL(2,C) is isomorphic to the (proper) Lorentz group, and its action on the two-sphere agrees with the action of the Lorentz group on the celestial sphere in Minkowski space. The analog of the spherical harmonics for the Lorentz group is given by the hypergeometric series; furthermore, the spherical harmonics can be re-expressed in terms of the hypergeometric series, as SO(3) = PSU(2) is a subgroup of PSL(2,C).
More generally, hypergeometric series can be generalized to describe the symmetries of any symmetric space; in particular, hypergeometric series can be developed for any Lie group.[38][39][40][41]
Ver también
- Cubic harmonic (often used instead of spherical harmonics in computations)
- Cylindrical harmonics
- Spherical basis
- Spinor spherical harmonics
- Spin-weighted spherical harmonics
- Sturm–Liouville theory
- Table of spherical harmonics
- Vector spherical harmonics
Notas
- ^ A historical account of various approaches to spherical harmonics in three dimensions can be found in Chapter IV of MacRobert 1967. The term "Laplace spherical harmonics" is in common use; see Courant & Hilbert 1962 and Meijer & Bauer 2004.
- ^ The approach to spherical harmonics taken here is found in (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
- ^ Physical applications often take the solution that vanishes at infinity, making A = 0. This does not affect the angular portion of the spherical harmonics.
- ^ Edmonds 1957, §2.5
- ^ Hall 2013 Section 17.6
- ^ Hall 2013 Lemma 17.16
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- ^ This is valid for any orthonormal basis of spherical harmonics of degree ℓ. For unit power harmonics it is necessary to remove the factor of 4π.
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Referencias
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