Técnica de diagrama de triángulo de espacio-tiempo

En física y matemáticas , la técnica del diagrama de triángulos del espacio-tiempo (STTD) , también conocida como el método de separación incompleta de variables de Smirnov , es el método directo en el dominio del espacio-tiempo para el movimiento de ondas electromagnéticas y escalares.

La técnica STTD pertenece al segundo entre los dos ansätze principales para el tratamiento teórico de las ondas: el dominio de la frecuencia y el dominio directo del espacio-tiempo. El método mejor establecido para las ecuaciones descriptivas no homogéneas (relacionadas con la fuente) del movimiento de las ondas se basa en la técnica de la función de Green. ^[4] Para las circunstancias descritas en la Sección 6.4 y el Capítulo 14 de la Electrodinámica clásica de Jackson , ^[4] se puede reducir al cálculo del campo de onda a través de potenciales retardados (en particular, los potenciales de Liénard-Wiechert ).

A pesar de cierta similitud entre los métodos de Green y Riemann-Volterra (en alguna literatura, la función de Riemann se denomina función de Riemann-Green ^[5] ), su aplicación a los problemas de movimiento de ondas da como resultado situaciones distintas:

^{[7] [8]} y fue la representación de Riemann-Volterra que Smirnov usó en su Curso de Matemáticas Superiores para probar la unicidad de la solución al problema anterior (ver, ^[8] ítem 143).

son invocados. El enfoque de Riemann-Volterra presenta las mismas o incluso más serias dificultades, especialmente cuando se trata de fuentes de soporte acotado: aquí los límites reales de integración deben definirse a partir del sistema de desigualdades que involucran las variables espacio-temporales y los parámetros de la fuente. término. Sin embargo, esta definición se puede formalizar estrictamente utilizando los diagramas de triángulos de espacio-tiempo. Con el mismo papel que los diagramas de Feynman en la física de partículas, los STTD proporcionan un procedimiento estricto e ilustrativo para la definición de áreas con la misma representación analítica del dominio de integración en el espacio 2D abarcado por la variable espacial no separada y el tiempo.

Variables iniciales z , τ .

El STTD más simple que representa un dominio de integración triangular resultó de la fórmula integral de Riemann-Volterra .

Limitaciones estáticas al área fuente ^[10]

STTD para una fuente limitada desde la izquierda por el plano , es decir , que es el caso, por ejemplo, para una fuente viajera que se propaga a lo largo de un radiador semi-infinito .${\ estilo de visualización z = 0}$${\displaystyle f(\tau ,z)=0{\text{ para }}z<0}$${\ estilo de visualización l}$

STTD para una fuente limitada desde el derecho por avión , es decir${\ estilo de visualización z = l}$${\displaystyle f(\tau ,z)=0{\text{ para }}z>l.}$

STTD para una fuente limitada por ambos lados, es decir , que es el caso, por ejemplo, para una fuente viajera que se propaga a lo largo de un radiador de longitud finita .${\displaystyle f(\tau ,z)=0{\text{ para }}z\notin [0,l]}$${\ estilo de visualización l}$

Acción combinada de limitaciones de distinto tipo, ver Refs. ^{[1] [10] [11] [12] [13]} para detalles y ejemplos más complicados

STTD para un pulso de fuente móvil semi-infinito.

STTD para un pulso de fuente móvil finito.

STTD para un pulso de fuente móvil finito que se propaga a lo largo de un radiador semi-infinito .${\displaystyle z\in \left[0,\infty \right)}$

Una secuencia de STTD genéricos para un pulso de fuente finito "corto" de duración que se propaga a lo largo de un radiador finito con una velocidad constante . ^{[ cita requerida ]} En este caso, la fuente se puede expresar de la forma${\displaystyle T}$${\displaystyle z\in [0,l]}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(\tau ,z)=f_{0}(\tau ,z)\times h(z)h(l-z)h\left(\tau -{\frac {z}{\beta }}\right)h\left(T-\tau +{\frac {z}{\beta }}\right),}$

    donde está la función escalón de Heaviside .${\displaystyle h(\cdot )}$

La misma secuencia STTD para un pulso "largo". ^{[ cita requerida ]}