En geometría algebraica , dado un grupo algebraico reductivo G y un subgrupo Borel B , una variedad esférica es una variedad G con una órbita B abierta y densa . A veces también se supone que es normal . Algunos ejemplos son las variedades de bandera , los espacios simétricos y las variedades tóricas (afines o proyectivas) .
También existe una noción de variedades esféricas reales.
Una variedad esférica proyectiva es un espacio de ensueño Mori . [1]
Las incrustaciones esféricas se clasifican mediante los denominados abanicos de colores, una generalización de abanicos para las variedades tóricas; esto se conoce como Teoría Luna-Vust.
En su artículo fundamental, Luna (2001) desarrolla un marco para clasificar subgrupos esféricos complejos de grupos reductivos; reduce la clasificación de subgrupos esféricos a maravillosos subgrupos. Resuelve completamente el caso de los grupos de tipo A y conjetura que los objetos combinatorios (datos esféricos homogéneos) que introduce proporcionan de hecho una clasificación combinatoria de subgrupos esféricos. Esto se ha conocido como la Conjetura de Luna. Esta clasificación ahora está completa de acuerdo con el programa de Luna; véanse las contribuciones de Bravi, Cupit-Foutou, Losev y Pezzini.
Como conjetura Knop, cada variedad esférica afín "suave" está determinada únicamente por su peso monoide. Este resultado de singularidad ha sido probado por Losev.
Knop (2013) ha estado desarrollando un programa para clasificar variedades esféricas en característica arbitraria.
Referencias
- ^ Brion, Michel (2007). "El anillo de coordenadas total de una maravillosa variedad". Revista de álgebra . 313 (1): 61–99. arXiv : matemáticas / 0603157 . doi : 10.1016 / j.jalgebra.2006.12.022 . S2CID 15154549 .
- Paolo Bravi, Maravillosas variedades de tipo E, Teoría de la representación 11 (2007), 174-191.
- Paolo Bravi y Stéphanie Cupit-Foutou, Clasificación de variedades estrictamente maravillosas, Annales de l'Institut Fourier (2010), Volumen 60, Número 2, 641–681.
- Paolo Bravi y Guido Pezzini, Maravillosas variedades de tipo D, Teoría de la representación 9 (2005), págs. 578–637.
- Paolo Bravi y Guido Pezzini, maravillosos subgrupos de grupos reductores y sistemas esféricos, J. Algebra 409 (2014), 101-147.
- Paolo Bravi y Guido Pezzini, Los sistemas esféricos de los maravillosos subgrupos reductivos, J. Lie Theory 25 (2015), 105-123.
- Paolo Bravi y Guido Pezzini, Primitive maravillosas variedades, Arxiv 1106.3187.
- Stéphanie Cupit-Foutou, maravillosas variedades. una realización geométrica, Arxiv 0907.2852.
- Michel Brion, "Introducción a las acciones de los grupos algebraicos" [1]
- Knop, Friedrich (2014), "Localización de variedades esféricas", Álgebra y teoría de números , 8 (3): 703–728, arXiv : 1303.2561 , doi : 10.2140 / ant.2014.8.703 , S2CID 119293458
- Losev, Ivan (2006). "Prueba de la conjetura de Knop". arXiv : matemáticas / 0612561 .
- Losev, Ivan (2009). "Propiedades de singularidad para variedades esféricas". arXiv : 0904.2937 [ math.AG ].
- Luna, Dominique (2001), "Variétés sphériques de type A" , Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 94 : 161–226, doi : 10.1007 / s10240-001-8194-0 , S2CID 123850545