Spread (geometría proyectiva)

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Un problema frecuentemente estudiado en geometría discreta es identificar formas en las que un objeto puede ser cubierto por otros objetos más simples como puntos, líneas y planos. En geometría proyectiva , un ejemplo específico de este problema que tiene numerosas aplicaciones es determinar si, y cómo, un espacio proyectivo puede ser cubierto por subespacios disjuntos por pares que tienen la misma dimensión; tal partición se llama extensión . Específicamente, una extensión de un espacio proyectivo , donde es un número entero y un anillo de división, es un conjunto de subespacios bidimensionales, para algunos tales que cada punto del espacio se encuentra exactamente en uno de los elementos de la extensión.${\displaystyle PG(d,K)}$${\ estilo de visualización d \ geq 1}$${\ estilo de visualización K}$${\ estilo de visualización r}$${\ estilo de visualización 0<r<d}$

Los diferenciales están particularmente bien estudiados en geometrías proyectivas sobre campos finitos, aunque algunos resultados notables también se aplican a geometrías proyectivas infinitas. En el caso finito, el trabajo fundacional sobre spreads aparece en André ^[1] e independientemente en Bruck-Bose ^[2] en relación con la teoría de los planos de traslación . En estos artículos, se muestra que existe una dispersión de subespacios bidimensionales del espacio proyectivo finito si y solo si . ^[3]${\ estilo de visualización r}$${\displaystyle PG(d,q)}$${\displaystyle r+1\mid d+1}$

Para todos los números enteros , el espacio proyectivo siempre tiene una extensión de subespacios bidimensionales, y en esta sección el término extensión se refiere a este tipo específico de extensión; Los diferenciales de esta forma también pueden ocurrir (y con frecuencia lo hacen) en infinitas geometrías proyectivas. Estos diferenciales son los más estudiados en la literatura, debido al hecho de que cada uno de estos diferenciales se puede utilizar para crear un plano de traslación mediante la construcción de André/Bruck-Bose. ^{[1] [4]}${\ estilo de visualización n \ geq 1}$${\displaystylePG(2n+1,q)}$${\ estilo de visualización n}$

Sea el espacio proyectivo para un número entero y un anillo de división. Un regulus ^[5] en es una colección de subespacios bidimensionales disjuntos por pares con las siguientes propiedades:${\ estilo de visualización \ Sigma}$ ${\displaystylePG(2n+1,K)}$${\ estilo de visualización n \ geq 1}$${\ estilo de visualización K}$ ${\ estilo de visualización R}$${\ estilo de visualización \ Sigma}$${\ estilo de visualización n}$

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