En matemáticas , un plano de traslación es un plano proyectivo que admite un cierto grupo de simetrías (que se describen a continuación). Junto con los planos de Hughes y los planos de Figueroa , los planos de traslación se encuentran entre los más estudiados de los planos no desarguesianos conocidos , y la gran mayoría de los planos no desarguesianos conocidos son planos de traslación o pueden obtenerse de un plano de traslación. a través de sucesivas iteraciones de dualización y / o derivación . [1]
En un plano proyectivo, sea P un punto y l una recta. A colineación centro con centro P y eje l es un colineación fijación de cada punto en l y cada línea a través de P . Se llama euforia si P está en l ; de lo contrario, se llama homología . Las colinaciones centrales con el centro P y el eje l forman un grupo. [2] Una línea l en un plano proyectivo Π es unalínea de traslación si el grupo de todas las elaciones con eje l actúa transitivamente sobre los puntos del plano afín obtenido al eliminar l del plano Π , Π l (la derivada afín de Π ). Un plano proyectivo con una línea de traslación se denomina plano de traslación.
El plano afín obtenido al eliminar la línea de traslación se denomina plano de traslación afín. Si bien a menudo es más fácil trabajar con planos proyectivos, en este contexto varios autores utilizan el término plano de traducción para referirse al plano de traducción afín. [3] [4]
Construcción algebraica con coordenadas
Cada plano proyectivo puede coordinarse mediante al menos un anillo ternario plano . [5] Para los planos de traducción, siempre es posible coordinar con un cuasifield . [6] Sin embargo, algunos cuasifcampos satisfacen propiedades algebraicas adicionales, y los anillos ternarios planos correspondientes coordinan planos de traslación que admiten simetrías adicionales. Algunas de estas clases especiales son:
- Aviones de campo cercano: coordinados por campos cercanos .
- Planos de semiespacio: coordinados por semicampos , los planos de semiespacio tienen la propiedad de que su dual es también un plano de traslación.
- Planos de Moufang : coordinados por anillos de división alternativos , los planos de Moufang son exactamente esos planos de traslación que tienen al menos dos líneas de traslación. Cada plano finito de Moufang es desarguesiano y cada plano desarguesiano es un plano de Moufang, pero hay infinitos planos de Moufang que no son desarguesianos (como el plano de Cayley ).
Dado un cuasifield con operaciones + (suma) y (multiplicación), se puede definir un anillo ternario plano para crear coordenadas para un plano de traslación. Sin embargo, es más típico crear un plano afín directamente desde el cuasifield definiendo los puntos como pares dónde y son elementos del cuasifield, y las líneas son los conjuntos de puntos satisfaciendo una ecuación de la forma , como y variar sobre los elementos del cuasifield, junto con los conjuntos de puntos satisfaciendo una ecuación de la forma , como varía sobre los elementos del cuasifield. [7]
Construcción geométrica con pliegues (Bruck / Bose)
Los planos de traslación están relacionados con extensiones de espacios proyectivos de dimensiones impares por la construcción de Bruck-Bose. [8] Una extensión de PG (2 n +1, K ) , dondees un número entero y K un anillo de división, es una partición del espacio en subespacios n- dimensionales separados por pares . En el caso finito, una extensión de PG (2 n +1, q ) es un conjunto de q n +1 + 1 n -subespacios dimensionales, sin dos intersecciones.
Dada una extensión S de PG (2 n +1, K ) , la construcción de Bruck-Bose produce un plano de traslación de la siguiente manera: Embed PG (2 n +1, K ) como hiperplanode PG (2 n +2, K ) . Defina una estructura de incidencia A ( S ) con "puntos", los puntos de PG (2 n +2, K ) no eny "líneas" los subespacios dimensionales ( n +1) de PG (2 n +2, K ) que se encuentranen un elemento de S . Entonces A ( S ) es un plano de traslación afín. En el caso finito, este procedimiento produce un plano de traslación de orden q n +1 .
Lo contrario de esta afirmación es casi siempre cierto. [9] Cualquier plano de traslación que esté coordinado por un cuasifcampo que sea de dimensión finita sobre su núcleo K ( K es necesariamente un anillo de división ) se puede generar a partir de una extensión de PG (2 n +1, K ) utilizando el método de Bruck-Bose. construcción, donde ( n +1) es la dimensión del cuasifield, considerado como un módulo sobre su kernel. Un corolario instantáneo de este resultado es que cada plano de traslación finito se puede obtener a partir de esta construcción.
Construcción algebraica con extensiones (André)
André [10] dio una representación algebraica anterior de planos de traducción (afines) que es fundamentalmente lo mismo que Bruck / Bose. Deje que V sea un 2 n -dimensional espacio vectorial sobre un campo F . Una propagación de V es un conjunto S de n subespacios -dimensional de V que partición la no-cero vectores de V . Los miembros de S se llaman los componentes de la propagación y si V i y V j son componentes distintos entonces V i ⊕ V j = V . Deje que A sea la estructura de incidencia cuyos puntos son los vectores de V y cuyas líneas son las clases laterales de los componentes, es decir, conjuntos de la forma v + T donde v es un vector de V y U es un componente de la propagación S . Entonces: [11]
- A es un plano afín y el grupo de traslaciones x → x + w para w en V es un grupo de automorfismos que actúa regularmente sobre los puntos de este plano.
El caso finito
Deje F = GF ( q ) = F q , el campo finito de orden q y V el 2 n espacio vectorial dimensional sobre F representados como:
Let M 0 , M 1 , ..., M q n - 1 ser n × n matrices sobre F con la propiedad de que M i - M j es no singular cuando i ≠ j . Para i = 0, 1, ..., q n - 1 define,
usualmente referidos como los subespacios " y = xM i ". También defina:
el subespacio " x = 0 ".
- El conjunto { V 0 , V 1 , ..., V q n } es una extensión de V .
El conjunto de matrices M i que se utiliza en esta construcción se denomina conjunto extendido , y este conjunto de matrices se puede utilizar directamente en el espacio proyectivo. para crear una extensión en el sentido geométrico.
Reguli y cremas para untar regulares
Dejar ser el espacio proyectivo PG (2 n +1, K ) paraun número entero y K un anillo de división. Un regulus [12] R enes una colección de subespacios n- dimensionales disjuntos por pares con las siguientes propiedades:
- R contiene al menos 3 elementos
- Cada línea que encuentra tres elementos de R , llamada transversal , se encuentra con cada elemento de R
- Cada punto de una transversal a R se encuentra en algún elemento de R
Cualesquiera tres subespacios n- dimensionales disjuntos por pares enyacen en un regulus único. [13] Un margen S dees regular si para cualquiera de las tres distintas n subespacios -dimensional de S , todos los miembros de la regulus único determinado por ellos están contenidos en S . Para cualquier anillo de división K con más de 2 elementos, si una extensión S de PG (2 n +1, K ) es regular, entonces el plano de traslación creado por esa extensión a través de la construcción de André / Bruck-Bose es un plano de Moufang . Se mantiene un inverso ligeramente más débil: si un plano de traducción es pappiano , entonces se puede generar a través de la construcción de André / Bruck-Bose a partir de una extensión regular. [14]
En el caso finito, K debe ser un campo de orden, y las clases de los planos de Moufang, Desarguesiano y Pappian son todas idénticas, por lo que este teorema se puede refinar para establecer que una extensión S de PG (2 n +1, q ) es regular si y solo si el plano de traslación creado por esa extensión a través de la construcción André / Bruck-Bose es desarguesiana .
En el caso donde K es el campo, todas las extensiones de PG (2 n +1, 2) son trivialmente regulares, ya que un regulus solo contiene tres elementos. Si bien el único plano de traslación de orden 8 es desarguesiano, se sabe que existen planos de traslación no desarguesianos de orden 2 e para cada entero. [15]
Familias de planos de traducción no desarguesianos
- Aviones Hall : construidos a través de Bruck / Bose a partir de una distribución regular dedonde un regulus ha sido reemplazado por el conjunto de líneas transversales a ese regulus (llamado el regulus opuesto ).
- Planos subregulares : construidos a través de Bruck / Bose a partir de una distribución regular de donde un conjunto de reguli disjuntos por pares han sido reemplazados por sus reguli opuestos.
- Aviones André
- Aviones de campo cercano
- Aviones de semicampo
Planos de traslación finitos de pequeño orden
Es bien sabido que los únicos planos proyectivos de orden 8 o menos son desarguesianos, y no se conocen planos no desarguesianos de orden primario. [16] Los planos de traslación finitos deben tener un orden de potencia principal. Hay cuatro planos proyectivos de orden 9, de los cuales dos son planos de traslación: el plano desarguesiano y el plano de Hall . La siguiente tabla detalla el estado actual de los conocimientos:
Pedido | Número de no desarguesianos Planos de traducción |
---|---|
9 | 1 |
dieciséis | 7 [17] [18] |
25 | 20 [19] [20] [21] |
27 | 6 [22] [23] |
32 | ≥8 [24] |
49 | 1346 [25] [26] |
64 | ≥2833 [27] |
Notas
- ^ Eric Moorhouse ha realizado extensas búsquedas informáticas para encontrar planos proyectivos. Para la orden 25 , Moorhouse ha encontrado 193 planos proyectivos, 180 de los cuales pueden obtenerse de un plano de traslación mediante derivación iterada y / o dualización. Para el pedido 49 , los 1349 planos de traslación conocidos dan lugar a más de 309.000 planos que se pueden obtener con este procedimiento.
- ^ Plano de traducción de geometría obtenido el 13 de junio de 2007
- ^ Hughes y Piper 1973 , p. 100
- ^ Johnson, Jha y Biliotti 2007 , p. 5
- ^ Pasillo 1943
- ^ Hay muchas formas de coordinar un plano de traslación que no producen un cuasifcampo, ya que el anillo ternario plano depende del cuadrilátero en el que se elige basar las coordenadas. Sin embargo, para los planos de traducción siempre hay alguna coordinación que produce un cuasifcampo.
- ^ Dembowski 1968 , p. 128. Nótese que los cuasicampos son técnicamente cuasicampos de izquierda o derecha, dependiendo de si la multiplicación se distribuye desde la izquierda o desde la derecha (los semicampos satisfacen ambas leyes distributivas). La definición de cuasifcampo en Wikipedia es cuasifcampo izquierdo, mientras que Dembowski usa cuasifields derechos. Generalmente, esta distinción se elide, ya que el uso de un cuasifield quiralmente "incorrecto" simplemente produce el dual del plano de traducción.
- ^ Bruck y Bose, 1964
- ^ Bruck y Bose , 1964 , p. 97
- ^ André 1954
- ^ Moorhouse 2007 , p. 13
- ^ Esta noción generaliza la de un regulus clásico, que es una de las dos familias de líneas dominantes en un hiperboloide de una hoja en un espacio tridimensional
- ^ Bruck y Bose , p. 163
- ^ Bruck y Bose , p. 164, Teorema 12.1
- ^ Knuth , 1965 , p. 541
- ^ "Planos proyectivos de pequeño orden" . ericmoorhouse.org . Consultado el 8 de noviembre de 2020 .
- ^ "Planos Proyectivos de Orden 16" . ericmoorhouse.org . Consultado el 8 de noviembre de 2020 .
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- ^ Czerwinski y Oakden
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- ^ "Planos Proyectivos de Orden 32" . ericmoorhouse.org . Consultado el 8 de noviembre de 2020 .
- ^ Mathon y Royle 1995
- ^ "Planos Proyectivos de Orden 49" . ericmoorhouse.org . Consultado el 8 de noviembre de 2020 .
- ^ McKay y Royle 2014 . Este es un recuento completo de los planos de traducción bidimensionales no desarguesianos; se sabe que existen muchos planos de dimensiones superiores.
Referencias
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Otras lecturas
- Mauro Biliotti, Vikram Jha, Norman L. Johnson (2001) Fundamentos de los planos de traducción , Marcel DekkerISBN 0-8247-0609-9 .
enlaces externos
- Notas de clase sobre geometría proyectiva
- Publicaciones de Keith Mellinger