En matemáticas , una solución extraña (o solución espuria ) es una solución, como la de una ecuación, que surge del proceso de resolución del problema pero que no es una solución válida para el problema. [1] Una solución faltante es una solución que es una solución válida al problema, pero desapareció durante el proceso de resolución del problema. Ambos son frecuentemente la consecuencia de realizar operaciones que no son invertibles para algunos o todos los valores de las variables, lo que impide que la cadena de implicaciones lógicas en la demostración sea bidireccional.
Uno de los principios básicos del álgebra es que uno puede multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma expresión sin cambiar las soluciones de la ecuación. Sin embargo, estrictamente hablando, esto no es cierto, ya que la multiplicación por ciertas expresiones puede introducir nuevas soluciones que no estaban presentes antes. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación:
Esto es cierto para todos los valores de x , por lo que el conjunto solución son todos los números reales. Pero claramente no todos los números reales son soluciones de la ecuación original. El problema es que la multiplicación por cero no es invertible : si multiplicamos por cualquier valor distinto de cero, podemos invertir el paso dividiendo por el mismo valor, pero la división por cero no está definida, por lo que la multiplicación por cero no se puede invertir.
Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones, − 2 y 0. Pero si se sustituye x por cero en la ecuación original, el resultado es la ecuación inválida 2 = 0. Este resultado contrario a la intuición ocurre porque en el caso en que x = 0, al multiplicar ambos lados por x multiplica ambos lados por cero, por lo que necesariamente produce una ecuación verdadera como en el primer ejemplo.
En general, cada vez que multiplicamos ambos lados de una ecuación por una expresión que involucra variables, introducimos soluciones extrañas siempre que esa expresión sea igual a cero. Pero no es suficiente excluir estos valores, porque pueden haber sido soluciones legítimas a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que multiplicamos ambos lados de nuestra ecuación original x + 2 = 0 por x + 2. Obtenemos
que tiene una sola solución real: x = −2, y esta es una solución a la ecuación original, por lo que no se puede excluir, aunque x + 2 sea cero para este valor de x .