Las desviaciones cuadradas de la media (SDM) están involucradas en varios cálculos. En teoría de probabilidad y estadística , la definición de varianza es el valor esperado del SDM (cuando se considera una distribución teórica ) o su valor promedio (para datos experimentales reales). Los cálculos para el análisis de varianza implican la división de una suma de SDM.
Introducción
La comprensión de los cálculos involucrados se mejora en gran medida mediante un estudio del valor estadístico
- , dónde es el operador de valor esperado.
Para una variable aleatoria con media y varianza ,
Por lo tanto,
De lo anterior, se puede derivar lo siguiente:
Varianza de la muestra
La suma de las desviaciones cuadradas necesarias para calcular la varianza de la muestra (antes de decidir si dividir por n o n - 1) se calcula más fácilmente como
De las dos expectativas derivadas por encima del valor esperado de esta suma es
lo que implica
Esto demuestra efectivamente el uso del divisor n - 1 en el cálculo de una estimación muestral insesgada de σ 2 .
Partición - análisis de varianza
En la situación en la que hay datos disponibles para k grupos de tratamiento diferentes que tienen un tamaño n i donde i varía de 1 a k , entonces se supone que la media esperada de cada grupo es
y la varianza de cada grupo de tratamiento no cambia de la varianza de la población .
Bajo la Hipótesis Nula de que los tratamientos no tienen efecto, entonces cada uno de los será cero.
Ahora es posible calcular tres sumas de cuadrados:
- Individual
- Tratos
Bajo la hipótesis nula de que los tratamientos no provocan diferencias y todas las son cero, la expectativa se simplifica a
- Combinación
Sumas de desviaciones cuadradas
Bajo la hipótesis nula, la diferencia de cualquier par de I , T y C no contiene ninguna dependencia de, solo .
- desviaciones cuadradas totales también conocidas como suma total de cuadrados
- tratamiento de desviaciones al cuadrado, también conocido como suma explicada de cuadrados
- desviaciones cuadradas residuales también conocidas como suma de cuadrados residuales
Las constantes ( n - 1), ( k - 1) y ( n - k ) normalmente se conocen como el número de grados de libertad .
Ejemplo
En un ejemplo muy simple, surgen 5 observaciones de dos tratamientos. El primer tratamiento da tres valores 1, 2 y 3, y el segundo tratamiento da dos valores 4 y 6.
Donación
- Desviaciones cuadradas totales = 66 - 51,2 = 14,8 con 4 grados de libertad.
- Desviaciones al cuadrado del tratamiento = 62 - 51,2 = 10,8 con 1 grado de libertad.
- Desviaciones cuadradas residuales = 66 - 62 = 4 con 3 grados de libertad.
Análisis de varianza bidireccional
El siguiente ejemplo hipotético da los rendimientos de 15 plantas sujetas a dos variaciones ambientales diferentes y tres fertilizantes diferentes.
CO 2 adicional | Humedad extra | |
---|---|---|
Sin fertilizante | 7, 2, 1 | 7, 6 |
Nitrato | 11, 6 | 10, 7, 3 |
Fosfato | 5, 3, 4 | 11, 4 |
Se calculan cinco sumas de cuadrados:
Factor | Cálculo | Suma | |
---|---|---|---|
Individual | 641 | 15 | |
Fertilizante × Medio ambiente | 556.1667 | 6 | |
Fertilizante | 525,4 | 3 | |
Ambiente | 519.2679 | 2 | |
Compuesto | 504,6 | 1 |
Finalmente, se pueden calcular las sumas de desviaciones cuadradas requeridas para el análisis de varianza .
Factor | Suma | Total | Ambiente | Fertilizante | Fertilizante × Medio ambiente | Residual | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Individual | 641 | 15 | 1 | 1 | |||
Fertilizante × Medio ambiente | 556.1667 | 6 | 1 | −1 | |||
Fertilizante | 525,4 | 3 | 1 | −1 | |||
Ambiente | 519.2679 | 2 | 1 | −1 | |||
Compuesto | 504,6 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | |
Desviaciones cuadradas | 136,4 | 14.668 | 20,8 | 16.099 | 84.833 | ||
Grados de libertad | 14 | 1 | 2 | 2 | 9 |
Ver también
Referencias
- ^ Mood & Graybill: Introducción a la teoría de la estadística (McGraw Hill)