Puntuación estándar

cuántas desviaciones estándar aparte de la media es un dato observado

"Estandarizar" las redirecciones aquí. Para conocer las normas industriales y técnicas, consulte Normalización .

La "puntuación Z" vuelve a dirigir aquí. Para la transformación z de Fisher en estadísticas, consulte Transformación de Fisher . Para valores de Z en la ecología, ver Z-valor . Para z-transformación al dominio de números complejos, ver transformada Z . Para Z-factor en alto rendimiento de cribado, ver Z-factor de . Para la herramienta de análisis financiero Z-score, consulte Altman Z-score .

Compara los distintos métodos de clasificación en una distribución normal. Incluye: desviaciones estándar, porcentajes acumulativos, equivalentes de percentiles, puntajes Z, puntajes T

En estadística , la puntuación estándar es el número de desviaciones estándar por las que el valor de una puntuación bruta (es decir, un valor observado o un punto de datos) está por encima o por debajo del valor medio de lo que se está observando o midiendo. Los puntajes brutos por encima de la media tienen puntajes estándar positivos, mientras que los que están por debajo de la media tienen puntajes estándar negativos.

Se calcula restando la media de la población de una puntuación bruta individual y luego dividiendo la diferencia por la desviación estándar de la población . Este proceso de convertir una puntuación bruta en una puntuación estándar se denomina estandarización o normalización (sin embargo, "normalizar" puede referirse a muchos tipos de proporciones; consulte normalización para obtener más información).

Los puntajes estándar se denominan más comúnmente puntajes z ; los dos términos pueden usarse indistintamente, tal como aparecen en este artículo. Otros términos incluyen valores z, puntuaciones normales , variables estandarizadas y pull en High Energy Physics ^[1] .

Calcular una puntuación z requiere conocer la media y la desviación estándar de la población completa a la que pertenece un punto de datos; si solo se tiene una muestra de observaciones de la población, entonces el cálculo análogo con la media muestral y la desviación estándar muestral produce el estadístico t .

Cálculo

Si se conocen la media de la población y la desviación estándar de la población, una puntuación bruta x se convierte en una puntuación estándar mediante ^[2]

${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }}$

dónde:

μ es la media de la población.

σ es la desviación estándar de la población.

El valor absoluto de z representa la distancia entre esa puntuación bruta x y la media de la población en unidades de la desviación estándar. z es negativo cuando la puntuación bruta está por debajo de la media, positiva cuando está por encima.

Calcular z usando esta fórmula requiere la media poblacional y la desviación estándar poblacional, no la media muestral o la desviación muestral. Pero conocer la verdadera media y la desviación estándar de una población a menudo no es realista, excepto en casos como las pruebas estandarizadas , donde se mide toda la población.

Cuando se desconocen la media de la población y la desviación estándar de la población, la puntuación estándar se puede calcular utilizando la media de la muestra y la desviación estándar de la muestra como estimaciones de los valores de la población. ^{[3] [4] [5] [6]}

En estos casos, la puntuación z es

${\displaystyle z={x-{\bar {x}} \over S}}$

dónde:

${\displaystyle {\bar {x}}}$es la media de la muestra.

S es la desviación estándar de la muestra.

En cualquier caso, dado que el numerador y el denominador de la ecuación deben expresarse en las mismas unidades de medida, y dado que las unidades se cancelan mediante la división, z se deja como una cantidad adimensional .

Aplicaciones

Prueba Z

Artículo principal: prueba Z

El puntaje z se usa a menudo en la prueba z en las pruebas estandarizadas, el análogo de la prueba t de Student para una población cuyos parámetros son conocidos, en lugar de estimados. Como es muy poco común conocer a toda la población, la prueba t se usa mucho más.

Intervalos de predicción

La puntuación estándar se puede utilizar en el cálculo de los intervalos de predicción . Un intervalo de predicción [ L , U ], que consta de un punto final inferior designado L y un punto final superior designado U , es un intervalo tal que una observación futura X estará en el intervalo con alta probabilidad , es decir${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle P(L<X<U)=\gamma ,}$

Para la puntuación estándar Z de X da: ^[7]

${\displaystyle P\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}<Z<{\frac {U-\mu }{\sigma }}\right)=\gamma .}$

Determinando el cuantil z tal que

${\displaystyle P\left(-z<Z<z\right)=\gamma }$

sigue:

${\displaystyle L=\mu -z\sigma ,\ U=\mu +z\sigma }$

Control de procesos

En aplicaciones de control de procesos, el valor Z proporciona una evaluación de cuán fuera del objetivo está operando un proceso.

Comparación de puntuaciones medidas en diferentes escalas: ACT y SAT

La puntuación z para el Estudiante A fue 1, lo que significa que el Estudiante A estaba 1 desviación estándar por encima de la media. Por lo tanto, el estudiante A se desempeñó en el percentil 84.13 en el SAT.

Cuando los puntajes se miden en diferentes escalas, se pueden convertir en puntajes z para facilitar la comparación. Dietz y col. ^[8] proporcione el siguiente ejemplo que compara los puntajes de los estudiantes en las (antiguas) pruebas SAT y ACT de la escuela secundaria. La tabla muestra la media y la desviación estándar para la puntuación total en el SAT y ACT. Suponga que el estudiante A obtuvo 1800 en el SAT y el estudiante B obtuvo 24 en el ACT. ¿Qué estudiante se desempeñó mejor en relación con otros examinados?

	SE SENTÓ	ACTUAR
Significar	1500	21
Desviación Estándar	300	5

La puntuación z para el Estudiante B fue .6, lo que significa que el Estudiante B fue .6 desviación estándar por encima de la media. Por lo tanto, el estudiante B se desempeñó en el percentil 72.57 en el SAT.

La puntuación z para el estudiante A es ${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }={1800-1500 \over 300}=1}$

La puntuación z para el estudiante B es ${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }={24-21 \over 5}=0.6}$

Debido a que el estudiante A tiene una puntuación z más alta que el estudiante B, el estudiante A se desempeñó mejor en comparación con otros examinados que el estudiante B.

Porcentaje de observaciones por debajo de una puntuación z

Continuando con el ejemplo de los puntajes ACT y SAT, si se puede suponer además que los puntajes ACT y SAT están distribuidos normalmente (lo cual es aproximadamente correcto), entonces los puntajes z pueden usarse para calcular el porcentaje de examinados que obtuvieron resultados más bajos. puntajes que los estudiantes A y B.

Análisis de conglomerados y escalamiento multidimensional

"Para algunas técnicas multivariadas, como el escalado multidimensional y el análisis de conglomerados, el concepto de distancia entre las unidades de los datos suele tener un interés e importancia considerables ... Cuando las variables de un conjunto de datos multivariados se encuentran en escalas diferentes, tiene más sentido calcular las distancias después de alguna forma de estandarización ". ^[9]

Análisis de componentes principales

En el análisis de componentes principales, "las variables medidas en diferentes escalas o en una escala común con rangos muy diferentes a menudo se estandarizan". ^[10]

Importancia relativa de las variables en regresión múltiple: coeficientes de regresión estandarizados

La estandarización de variables antes del análisis de regresión múltiple se utiliza a veces como ayuda para la interpretación. ^[11] (página 95) indica lo siguiente.

"La pendiente de regresión estandarizada es la pendiente en la ecuación de regresión si X e Y están estandarizados ... La estandarización de X e Y se realiza restando las medias respectivas de cada conjunto de observaciones y dividiendo por las desviaciones estándar respectivas ... En regresión múltiple, donde varios Se utilizan X variables, los coeficientes de regresión estandarizados cuantifican la contribución relativa de cada X variable ".

Sin embargo, Kutner et al. ^[12] (p 278) hacen la siguiente advertencia: "... uno debe tener cuidado al interpretar cualquier coeficiente de regresión, ya sea estandarizado o no. La razón es que cuando las variables predictoras están correlacionadas entre sí, ... los coeficientes de regresión se ven afectados por la otras variables predictoras en el modelo ... Las magnitudes de los coeficientes de regresión estandarizados se ven afectadas no solo por la presencia de correlaciones entre las variables predictoras sino también por los espaciamientos de las observaciones en cada una de estas variables. A veces estos espaciamientos pueden ser bastante arbitrarios. , normalmente no es prudente interpretar las magnitudes de los coeficientes de regresión estandarizados como un reflejo de la importancia comparativa de las variables predictoras ".

Estandarización en estadística matemática

Más información: Normalización (estadísticas)

En estadística matemática , una variable aleatoria X se estandariza restando su valor esperado y dividiendo la diferencia por su desviación estándar.${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}:}$

${\displaystyle Z={X-\operatorname {E} [X] \over \sigma (X)}}$

Si la variable aleatoria en consideración es la media muestral de una muestra aleatoria de X :${\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

entonces la versión estandarizada es

${\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}.}$

T-score

"T-score" vuelve a dirigir aquí. No debe confundirse con t -statistic .

En la evaluación educativa, la puntuación T es una puntuación estándar desplazada en Z y escalada para tener una media de 50 y una desviación estándar de 10. ^{[13] [14] [15]}

En las mediciones de densidad ósea, la puntuación T es la puntuación estándar de la medición en comparación con la población de adultos sanos de 30 años. ^[dieciséis]

Ver también

• Normalización (estadísticas)
• Relación omega
• Desviación normal estándar

Referencias

1. https://e-publishing.cern.ch/index.php/CYRSP/article/download/303/405/2022 .
2. E. Kreyszig (1979). Matemáticas de Ingeniería Avanzada (Cuarta ed.). Wiley. pag. 880, eq. 5. ISBN 0-471-02140-7.
3. Spiegel, Murray R .; Stephens, Larry J (2008), Schaum's Outlines Statistics (Cuarta ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-148584-5
4. Mendenhall, William; Sincich, Terry (2007), Estadística para la ingeniería y las ciencias (Quinta ed.), Pearson / Prentice Hall, ISBN 978-0131877061
5. Glantz, Stanton A .; Slinker, Bryan K .; Neilands, Torsten B. (2016), Manual de regresión aplicada y análisis de varianza (tercera edición), McGraw Hill, ISBN 978-0071824118
6. Aho, Ken A. (2014), Estadísticas fundamentales y aplicadas para biólogos (Primera edición), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1439873380
7. E. Kreyszig (1979). Matemáticas de Ingeniería Avanzada (Cuarta ed.). Wiley. pag. 880, eq. 6. ISBN 0-471-02140-7.
8. Diez, David; Barr, Christopher; Çetinkaya-Rundel, Mine (2012), OpenIntro Statistics (Segunda ed.), Openintro.org
9. Everitt, Brian; Hothorn, Torsten J (2011), Introducción al análisis multivariado aplicado con R , Springer, ISBN 978-1441996497
10. Johnson, Richard; Wichern, Wichern (2007), Análisis estadístico multivariante aplicado , Pearson / Prentice Hall
11. Afifi, Abdelmonem; May, Susanne K .; Clark, Virginia A. (2012), Practical Multivariate Analysis (Quinta ed.), Chapman y Hall / CRC, ISBN 978-1439816806
12. Kutner, Michael; Nachtsheim, Christopher; Neter, John (204), Modelos de regresión lineal aplicados (Cuarta ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0073014661
13. John Salvia; James Ysseldyke; Sara Witmer (29 de enero de 2009). Evaluación: En Educación Especial e Inclusiva . Aprendizaje Cengage. págs. 43–. ISBN 0-547-13437-1.
14. Edward S. Neukrug; R. Charles Fawcett (1 de enero de 2014). Fundamentos de las pruebas y la evaluación: una guía práctica para consejeros, trabajadores sociales y psicólogos . Aprendizaje Cengage. págs. 133–. ISBN 978-1-305-16183-2.
15. Randy W. Kamphaus (16 de agosto de 2005). Evaluación clínica de la inteligencia infantil y adolescente . Saltador. págs. 123–. ISBN 978-0-387-26299-4.
16. "Medición de la masa ósea: lo que significan los números" . Centro Nacional de Recursos de Osteoporosis y Enfermedades Óseas Relacionadas de los NIH . Instituto Nacional de Salud . Consultado el 5 de agosto de 2017 .

Lectura adicional

• Carroll, Susan Rovezzi; Carroll, David J. (2002). Estadísticas simplificadas para líderes escolares (edición ilustrada). Rowman y Littlefield. ISBN 978-0-8108-4322-6. Consultado el 7 de junio de 2009 .
• Larsen, Richard J .; Marx, Morris L. (2000). Introducción a la estadística matemática y sus aplicaciones (Tercera ed.). pag. 282. ISBN 0-13-922303-7.

Enlaces externos

• Flash interactivo sobre las puntuaciones z y las probabilidades de la curva normal por Jim Reed