En geometría enumerativa , el problema de las cónicas de Steiner es el problema de encontrar el número de cónicas suaves tangentes a cinco cónicas dadas en el plano en posición general . Si el problema se considera en el plano proyectivo complejo CP 2 , la solución correcta es 3264 ( Bashelor (2008) ). El problema lleva el nombre de Jakob Steiner, quien lo planteó por primera vez y dio una solución incorrecta en 1848.
Historia
Steiner (1848) afirmó que el número de cónicas tangentes a 5 dadas en posición general es 7776 = 6 5 , pero más tarde se dio cuenta de que esto era incorrecto. El número correcto 3264 fue encontrado aproximadamente en 1859 por Ernest de Jonquières, quien no publicó debido a la reputación de Steiner, y por Chasles ( 1864 ) usando su teoría de las características, y por Berner en 1865. Sin embargo, estos resultados, como muchos otros en la intersección clásica teoría, no parecen haber recibido pruebas completas hasta el trabajo de Fulton y Macpherson alrededor de 1978.
Formulación y solución
El espacio de cónicas (posiblemente degeneradas) en el plano proyectivo complejo CP 2 se puede identificar con el espacio proyectivo complejo CP 5 (ya que cada cónica está definida por un polinomio homogéneo de grado 2 en tres variables, con 6 coeficientes complejos, y multiplicando tales un polinomio por un número complejo distinto de cero no cambia la cónica). Steiner observó que las cónicas tangentes a una cónica dada forman una hipersuperficie de grado 6 en CP 5 . Entonces, las cónicas tangentes a 5 cónicas dadas corresponden a los puntos de intersección de 5 hipersuperficies de grado 6, y según el teorema de Bézout, el número de puntos de intersección de 5 hipersuperficies genéricas de grado 6 es 6 5 = 7776, que fue la solución incorrecta de Steiner. La razón por la que esto es incorrecto es que las cinco hipersuperficies de grado 6 no están en posición general y tienen una intersección común en la superficie de Veronese , correspondiente al conjunto de líneas dobles en el plano, todas las cuales tienen puntos de doble intersección con las 5 cónicas. En particular, la intersección de estas 5 hipersuperficies ni siquiera es de dimensión 0, sino que tiene un componente de 2 dimensiones. Entonces, para encontrar la respuesta correcta, uno tiene que eliminar de alguna manera el plano de las cónicas degeneradas espúreas de este cálculo.
Una forma de eliminar las cónicas degeneradas es volar CP 5 a lo largo de la superficie Veronese. El anillo de Chow de la explosión es generado por H y E , donde H es la transformada total de un hiperplano y E es el divisor excepcional. La transformada total de una hipersuperficie de grado 6 es 6 H , y Steiner calculó (6 H ) 5 = 6 5 P como H 5 = P (donde P es la clase de un punto en el anillo de Chow). Sin embargo el número de las cónicas no es (6 H ) 5 pero (6 H -2 E ) 5 porque el estricto transformada de la hipersuperficie de las cónicas tangente a una cónica dado es 6 H -2 E .
Suponga que L = 2 H - E es la transformada estricta de las cónicas tangentes a una línea dada. Entonces los números de intersección de H y L están dados por H 5 = 1 P , H 4 L = 2 P , H 3 L 2 = 4 P , H 2 L 3 = 4 P , H 1 L 4 = 2 P , L 5 = 1 P . Así que tenemos (6 H -2 E ) 5 = (2 H 2 L ) 5 = 3,264 P .
Fulton y Macpherson (1978) dio una descripción precisa de lo que significa exactamente "posición general" (aunque sus dos proposiciones sobre esto no son del todo correctas y se corrigen en una nota en la página 29 de su artículo). Si las cinco cónicas tienen las propiedades que
- no hay una línea tal que cada una de las 5 cónicas sea tangente a ella o pase por uno de dos puntos fijos en ella (de lo contrario, hay una "línea doble con 2 puntos marcados" tangente a las 5 cónicas)
- no hay tres cónicas que pasen por ningún punto (de lo contrario, hay una "línea doble con 2 puntos marcados" tangente a las 5 cónicas que pasan por este punto de triple intersección)
- no hay dos cónicas tangentes
- no tres de las cinco cónicas son tangentes a una línea
- un par de líneas cada tangente a dos de las cónicas no se cruzan en la quinta cónica (de lo contrario, este par es una cónica degenerada tangente a las 5 cónicas)
entonces el número total de cónicas C tangentes a las 5 (contadas con multiplicidades) es 3264. Aquí la multiplicidad viene dada por el producto de las 5 cónicas C i de (4 - número de puntos de intersección de C y C i ). En particular, si C interseca cada una de las cinco cónicas en exactamente 3 puntos (un punto doble de tangencia y otros dos), entonces la multiplicidad es 1, y si esta condición siempre se cumple, entonces hay exactamente 3264 cónicas tangentes a las 5 cónicas dadas.
En otros campos algebraicamente cerrados, la respuesta es similar, a menos que el campo tenga la característica 2, en cuyo caso el número de cónicas es 51 en lugar de 3264.
Referencias
- Bashelor, Andrew; Ksir, Amy; Traves, Will (2008), "Geometría algebraica enumerativa de cónicas". (PDF) , Amer. Matemáticas. Mensual , 115 (8): 701–728, doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920584 , JSTOR 27642583 , MR 2456094
- Chasles, M. (1864), "Construction des coniques qui satisfont à cinque conditions", CR Acad. Sci. París , 58 : 297–308
- Eisenbud, David; Joe, Harris (2016), 3264 y todo eso: un segundo curso en geometría algebraica , CUP, ISBN 978-1107602724
- Fulton, William; MacPherson, Robert (1978), "Definición de intersecciones algebraicas", Geometría algebraica (Proc. Sympos., Univ. Tromsø, Tromsø, 1977) , Lecture Notes in Math., 687 , Berlín: Springer, págs. 1-30, doi : 10.1007 / BFb0062926 , ISBN 978-3-540-08954-4, MR 0527228
- Steiner, J. (1848), "Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, und über einige damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte" , J. Reine Angew. Matemáticas. , 37 : 161-192
enlaces externos
- Ghys, Étienne, TROIS MILLE DEUX CENT SOIXANTE-QUATRE… Comentar Jean-Yves a récemment précisé un théorème de géométrie (en francés)
- Welschinger, Jean-Yves (2006), "ÉNUMÉRATION DE FRACTIONS RATIONNELLES RÉELLES" , Images des Mathématiques