El teorema de Bézout es un enunciado de geometría algebraica sobre el número de ceros comunes de n polinomios en n indeterminados. En su forma original, el teorema establece que, en general, el número de ceros comunes es igual al producto de los grados de los polinomios. [1] Lleva el nombre de Étienne Bézout .
En algunos textos elementales, el teorema de Bézout se refiere solo al caso de dos variables y afirma que, si dos curvas algebraicas planas de grados y no tienen ningún componente en común, tienen puntos de intersección, contados con su multiplicidad , incluyendo puntos en el infinito y puntos con coordenadas complejas .
En su formulación moderna, el teorema establece que, si N es el número de puntos comunes sobre un campo algebraicamente cerrado de n hipersuperficies proyectivas definidas por polinomios homogéneos en n + 1 indeterminados, entonces N es infinito o es igual al producto de los grados de los polinomios. Además, el caso finito ocurre casi siempre.
En el caso de dos variables y en el caso de hipersuperficies afines, si no se cuentan las multiplicidades y los puntos en el infinito, este teorema proporciona solo un límite superior del número de puntos, que casi siempre se alcanza. Este límite a menudo se denomina límite de Bézout .
El teorema de Bézout es fundamental en álgebra computacional y geometría algebraica efectiva , al mostrar que la mayoría de los problemas tienen una complejidad computacional que es al menos exponencial en el número de variables. De ello se deduce que en estas áreas, la mayor complejidad que se puede esperar ocurrirá con algoritmos que tienen una complejidad que es polinomial en el límite de Bézout.
Historia
En el caso de las curvas planas, el teorema de Bézout fue enunciado esencialmente por Isaac Newton en su demostración del lema 28 del volumen 1 de sus Principia en 1687, donde afirma que dos curvas tienen un número de puntos de intersección dado por el producto de sus grados.
El teorema general se publicó más tarde en 1779 en la Théorie générale des équations algébriques de Étienne Bézout . Supuso que las ecuaciones estaban "completas", lo que en la terminología moderna se traduciría en genérico . Dado que en los polinomios genéricos no hay puntos en el infinito y todas las multiplicidades son iguales, la formulación de Bézout es correcta, aunque su demostración no sigue los requisitos modernos del rigor.
Esto y el hecho de que el concepto de multiplicidad de intersección estaba fuera del conocimiento de su época llevó a un sentimiento expresado por algunos autores de que su prueba no era correcta ni la primera prueba que se puede dar. [2]
La prueba del enunciado que incluye multiplicidades no fue posible antes del siglo XX con la introducción del álgebra abstracta y la geometría algebraica .
Declaración
Curvas planas
Suponga que X e Y son dos curvas proyectivas planas definidas sobre un campo F que no tienen un componente común (esta condición significa que X e Y están definidos por polinomios, que no son múltiplos de un polinomio común no constante; en particular, es válido para un par de curvas "genéricas"). Entonces el número total de puntos de intersección de X y Y con coordenadas en un campo algebraicamente cerrado E que contiene F , contados con sus multiplicidades , es igual al producto de los grados de X y Y .
Caso general
La generalización en dimensión superior puede expresarse como:
Sea n hipersuperficies proyectivas dadas en un espacio proyectivo de dimensión n sobre un campo algebraicamente cerrado, que están definidas por n polinomios homogéneos en n + 1 variables, de grados Entonces, o el número de puntos de intersección es infinito, o el número de puntos de intersección, contados con multiplicidad, es igual al producto Si las hipersuperficies son irreductibles y están en posición general relativa , entonces hay puntos de intersección, todos con multiplicidad 1.
Hay varias pruebas de este teorema, que se expresan en términos puramente algebraicos o usan el lenguaje o la geometría algebraica . A continuación se esbozan tres pruebas algebraicas.
El teorema de Bézout se ha generalizado como el llamado teorema de Bézout multi-homogéneo .
Ejemplos (curvas planas)
Dos lineas
La ecuación de una recta en un plano euclidiano es lineal , es decir, equivale a cero un polinomio de grado uno. Entonces, el límite de Bézout para dos líneas es 1 , lo que significa que dos líneas se cruzan en un solo punto o no se cruzan. En el último caso, las líneas son paralelas y se encuentran en un punto en el infinito .
Se puede verificar esto con ecuaciones. La ecuación de una primera línea se puede escribir en forma pendiente-intersección o, en coordenadas proyectivas (Si la línea es vertical, se puede intercambiar x y y ). Si la ecuación de una segunda línea es (en coordenadas proyectivas) sustituyendo para ti en ella, uno consigue Si se obtiene la coordenada x del punto de intersección resolviendo la última ecuación en x y poniendo t = 1.
Si es decir las dos líneas son paralelas y tienen la misma pendiente. Sison distintos y la ecuación sustituida da t = 0 . Esto da el punto en el infinito de coordenadas proyectivas (1, s , 0) .
Una linea y una curva
Como arriba, se puede escribir la ecuación de la línea en coordenadas proyectivas como Si la curva se define en coordenadas proyectivas por un polinomio homogéneo de grado n , la sustitución de y ofrece un polinomio homogéneo de grado n en x y t . El teorema fundamental del álgebra implica que se puede factorizar en factores lineales. Cada factor da la relación de las x y t coordenadas de un punto de intersección, y la multiplicidad del factor es la multiplicidad del punto de intersección.
Si t es visto como la coordenada del infinito , un factor igual a t representa un punto de intersección en el infinito.
Si al menos una derivada parcial del polinomio p no es cero en un punto de intersección, entonces se define la tangente de la curva en este punto (ver Curva algebraica § Tangente en un punto ), y la multiplicidad de intersección es mayor que uno si y solo si la línea es tangente a la curva. Si todas las derivadas parciales son cero, el punto de intersección es un punto singular y la multiplicidad de intersección es al menos dos.
Dos secciones cónicas
Generalmente, dos secciones cónicas se cruzan en cuatro puntos, algunos de los cuales pueden coincidir. Para tener en cuenta correctamente todos los puntos de intersección, puede ser necesario permitir coordenadas complejas e incluir los puntos en la línea infinita en el plano proyectivo. Por ejemplo:
- Dos círculos nunca se cruzan en más de dos puntos del plano, mientras que el teorema de Bézout predice cuatro. La discrepancia proviene del hecho de que cada círculo pasa por los mismos dos puntos complejos en la línea en el infinito. Escribiendo el círculo
- en coordenadas homogéneas , obtenemos
- de lo cual está claro que los dos puntos (1: i : 0) y (1: - i : 0) se encuentran en cada círculo. Cuando dos círculos no se encuentran en absoluto en el plano real, las otras dos intersecciones tienen partes imaginarias distintas de cero, o si son concéntricas, se encuentran exactamente en los dos puntos de la línea en el infinito con una intersección multiplicidad de dos.
- Cualquier cónica debe encontrarse con la línea en el infinito en dos puntos de acuerdo con el teorema. Una hipérbola lo encuentra en dos puntos reales correspondientes a las dos direcciones de las asíntotas. Una elipse lo encuentra en dos puntos complejos que se conjugan entre sí --- en el caso de un círculo, los puntos (1: i : 0) y (1: - i : 0) . Una parábola lo encuentra en un solo punto, pero es un punto de tangencia y por lo tanto cuenta dos veces.
- Las siguientes imágenes muestran ejemplos en los que el círculo x 2 + y 2 - 1 = 0 se encuentra con otra elipse en menos puntos de intersección porque al menos uno de ellos tiene una multiplicidad mayor que uno:
Dos intersecciones de multiplicidad 2
Dos intersecciones de multiplicidades 3 y 1
Una intersección de multiplicidad 4
Multiplicidad
El concepto de multiplicidad es fundamental para el teorema de Bézout, ya que permite tener una igualdad en lugar de una desigualdad mucho más débil.
Intuitivamente, la multiplicidad de un cero común de varios polinomios es el número de ceros en los que se puede dividir cuando los coeficientes cambian ligeramente. Por ejemplo, una tangente a una curva es una línea que corta la curva en un punto que se divide en varios puntos si la línea se mueve ligeramente. Este número es dos en general (puntos ordinarios), pero puede ser mayor (tres para puntos de inflexión , cuatro para puntos de ondulación , etc.). Este número es la "multiplicidad de contacto" de la tangente.
Esta definición de multiplicidades por deformación fue suficiente hasta finales del siglo XIX, pero tiene varios problemas que llevaron a definiciones modernas más convenientes: las deformaciones son difíciles de manipular; por ejemplo, en el caso de una raíz de un polinomio univariante , para probar que la multiplicidad obtenida por deformación es igual a la multiplicidad del correspondiente factor lineal del polinomio, hay que saber que las raíces son funciones continuas de los coeficientes. Las deformaciones no se pueden utilizar sobre campos de característica positiva . Además, hay casos en los que una deformación conveniente es difícil de definir (como en el caso de más de dos planos las curvas tienen un punto de intersección común), e incluso casos en los que no es posible ninguna deformación. [ cita requerida ]
Actualmente, siguiendo a Jean-Pierre Serre , una multiplicidad se define generalmente como la longitud de un anillo local asociado con el punto donde se considera la multiplicidad. Se puede demostrar que la mayoría de las definiciones específicas son un caso especial de la definición de Serre.
En el caso del teorema de Bézout, se puede evitar la teoría general de la intersección , ya que hay pruebas (ver más abajo) que asocian a cada dato de entrada del teorema un polinomio en los coeficientes de las ecuaciones, que se factoriza en factores lineales, cada uno correspondiente a un solo punto de intersección. Entonces, la multiplicidad de un punto de intersección es la multiplicidad del factor correspondiente. La prueba de que esta multiplicidad es igual a la que se obtiene por deformación, resulta entonces del hecho de que los puntos de intersección y el polinomio factorizado dependen continuamente de las raíces.
Pruebas
Usando la resultante (curvas planas)
Deje que P y Q sean dos polinomios homogéneos en los indeterminados x , Y , t de grados correspondiente p y q . Sus ceros son las coordenadas homogéneas de dos curvas proyectivas . Por lo tanto las coordenadas homogéneas de sus puntos de intersección son los ceros comunes de P y Q .
Al reunir las potencias de un indeterminado, digamos y , se obtienen polinomios univariados cuyos coeficientes son polinomios homogéneos en x y t .
Por razones técnicas, se debe cambiar de coordenadas con el fin de que los grados en y de P y Q son iguales a sus grados totales ( p y q ), y cada línea que pasa a través de dos puntos de intersección no pasa a través del punto (0, 1, 0 ) (esto significa que no hay dos puntos que tengan la misma coordenada x cartesiana .
La resultante R ( x , t ) de P y Q con respecto a y es una homogénea polinomio en x y t que tiene la siguiente propiedad: con si y solo si existe tal que es un cero común de P y Q (ver § Ceros resultantes ). La condición técnica anterior asegura quees único. Los primeros medios de estado técnico anteriores que los grados utilizados en la definición de la resultante son p y q ; esto implica que el grado de R es pq (ver resultante § homogeneidad ).
Como R es un polinomio homogéneo en dos indeterminados, el teorema fundamental del álgebra implica que R es un producto de pq polinomios lineales. Si se define la multiplicidad de un cero común de P y Q como el número de apariciones del factor correspondiente en el producto, se demuestra así el teorema de Bézout.
Para probar que la multiplicidad de intersección que acaba de ser definido es igual a la definición en términos de una deformación, es suficiente señalar que la resultante y por lo tanto sus factores lineales son funciones continuas de los coeficientes de P y Q .
Probar la igualdad con otras definiciones de multiplicidades de intersección se basa en los tecnicismos de estas definiciones y, por lo tanto, está fuera del alcance de este artículo.
Usando U -resultant
A principios del siglo XX, Francis Sowerby Macaulay introdujo la resultante multivariante (también conocida como resultante de Macaulay ) de n polinomios homogéneos en n indeterminados, que es la generalización de la resultante habitual de dos polinomios. La resultante de Macaulay es una función polinomial de los coeficientes de n polinomios homogéneos que es cero si y solo los polinomios tienen un cero común no trivial (es decir, algún componente es distinto de cero) en un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes.
El resultado U es un ejemplo particular del resultante de Macaulay, introducido también por Macaulay. Dados n polinomios homogéneosen n + 1 indeterminadosel resultado U es la resultante de y donde los coeficientes son auxiliares indeterminados. El resultado U es un polinomio homogéneo en cuyo grado es el producto de los grados de la
Aunque un polinomio multivariado es generalmente irreducible , el resultado U se puede factorizar en lineal (en el) polinomios sobre un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes del Estos factores lineales corresponden a los ceros comunes del de la siguiente manera: a cada cero común corresponde a un factor lineal y por el contrario.
Esto prueba el teorema de Bézout, si la multiplicidad de un cero común se define como la multiplicidad del factor lineal correspondiente del U -resultante. En cuanto a la prueba anterior, la igualdad de esta multiplicidad con la definición por deformación resulta de la continuidad del U -resultante en función de los coeficientes de la
Esta prueba del teorema de Bézout parece la prueba más antigua que satisface los criterios modernos de rigor.
Usando el grado de un ideal
El teorema de Bézout se puede demostrar mediante la recurrencia del número de polinomios utilizando el siguiente teorema.
Sea V un conjunto proyectivo algebraico de dimensiones y grado , y H ser una hipersuperficie (definida por un solo polinomio) de grado, que no contiene ningún componente irreducible de V ; bajo estas hipótesis, la intersección de V y H tiene dimensión y grado
Para una demostración (bosquejada) usando la serie de Hilbert , vea la serie de Hilbert y el polinomio de Hilbert § Grado de una variedad proyectiva y teorema de Bézout .
Además de permitir una demostración conceptualmente simple del teorema de Bézout, este teorema es fundamental para la teoría de la intersección , ya que esta teoría se dedica esencialmente al estudio de las multiplicidades de intersección cuando las hipótesis del teorema anterior no se aplican.
Ver también
- Teorema AF + BG : acerca de las curvas algebraicas que pasan por todos los puntos de intersección de otras dos curvas
- Teorema de Bernstein-Kushnirenko : sobre el número de ceros complejos comunes de polinomios de Laurent
Notas
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Teorema de Bézout" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ Kirwan, Frances (1992). Curvas algebraicas complejas . Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42353-8.
Referencias
- William Fulton (1974). Curvas algebraicas . Serie de notas de clase de matemáticas. WA Benjamin. pag. 112. ISBN 0-8053-3081-4 .
- Newton, I. (1966), Principia Vol. I The Motion of Bodies (basado en la segunda edición de Newton (1713); traducido por Andrew Motte (1729) y revisado por Florian Cajori (1934) ed.), Berkeley, CA: University of California Press, ISBN 978-0-520-00928-8Traducción alternativa de la edición anterior (segunda) de los Principia de Newton .
- (generalización del teorema) https://mathoverflow.net/q/42127
enlaces externos
- "Teorema de Bezout" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Bézout" . MathWorld .
- Teorema de Bezout en MathPages