Steiner cónico

1. Definición de la generación Steiner de una sección cónica

La cónica de Steiner o, más precisamente, la generación de una cónica de Steiner , que lleva el nombre del matemático suizo Jakob Steiner , es un método alternativo para definir una sección cónica proyectiva no degenerada en un plano proyectivo sobre un campo .

La definición habitual de una cónica utiliza una forma cuadrática (ver Cuadrática (geometría proyectiva) ). Otra definición alternativa de una cónica usa una polaridad hiperbólica . Se debe a KGC von Staudt y, a veces, se le llama cónica de von Staudt . La desventaja de la definición de von Staudt es que solo funciona cuando el campo subyacente tiene una característica extraña (es decir,${\displaystyle Char\neq 2}$).

Definición de una cónica de Steiner

• Dado dos lápices ${\displaystyle B(U),B(V)}$ de líneas en dos puntos ${\displaystyle U,V}$ (todas las líneas que contienen ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ resp.) y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle B(U)}$ sobre ${\displaystyle B(V)}$. Luego, los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada ^{[1] [2] [3] [4]} (figura 1)

2. Mapeo de perspectiva entre líneas

Un mapeo de perspectiva${\displaystyle \pi }$ de un lapiz ${\displaystyle B(U)}$ en un lapiz ${\displaystyle B(V)}$es una biyección (correspondencia 1-1) tal que las líneas correspondientes se cruzan en una línea fija${\displaystyle a}$, que se llama el eje de la perspectiva${\displaystyle \pi }$ (Figura 2).

Un mapeo proyectivo es un producto finito de mapeos de perspectiva.

Ejemplo simple: si uno se desplaza en el primer punto del diagrama${\displaystyle U}$ y su lápiz de líneas sobre ${\displaystyle V}$ y gira el lápiz desplazado alrededor ${\displaystyle V}$ por un ángulo fijo ${\displaystyle \varphi }$ luego el cambio (traslación) y la rotación generan un mapeo proyectivo ${\displaystyle \pi }$ del lápiz en la punta ${\displaystyle U}$ en el lápiz en ${\displaystyle V}$. Del teorema del ángulo inscrito se obtiene: Los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman un círculo.

Ejemplos de campos de uso común son los números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$, los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ o los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$. La construcción también trabaja sobre campos finitos, proporcionando ejemplos en planos proyectivos finitos .

Observación: El teorema fundamental de los planos proyectivos establece ^[5] que un mapeo proyectivo en un plano proyectivo sobre un campo ( plano papiano ) se determina de forma única prescribiendo las imágenes de tres líneas. Eso significa que, para la generación Steiner de una sección cónica, además de dos puntos${\displaystyle U,V}$sólo se deben dar las imágenes de 3 líneas. Estos 5 elementos (2 puntos, 3 líneas) determinan de forma única la sección cónica.

Observación: La notación "perspectiva" se debe al enunciado dual: La proyección de los puntos en una línea.${\displaystyle a}$ desde un centro ${\displaystyle Z}$ en una línea ${\displaystyle b}$se llama perspectiva (ver más abajo ). ^[5]

3. Ejemplo de una generación Steiner: generación de un punto

Ejemplo

Para el siguiente ejemplo las imágenes de las líneas ${\displaystyle a,u,w}$ (ver imagen) se dan: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. El mapeo proyectivo${\displaystyle \pi }$ es el producto de las siguientes asignaciones de perspectiva ${\displaystyle \pi _{b},\pi _{a}}$: 1) ${\displaystyle \pi _{b}}$ es el mapeo de perspectiva del lápiz en el punto ${\displaystyle U}$ en el lápiz en el punto ${\displaystyle O}$ con eje ${\displaystyle b}$. 2)${\displaystyle \pi _{a}}$ es el mapeo de perspectiva del lápiz en el punto ${\displaystyle O}$ en el lápiz en el punto ${\displaystyle V}$ con eje ${\displaystyle a}$. Primero uno debe verificar que${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b}}$ tiene las propiedades: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Por lo tanto, para cualquier línea${\displaystyle g}$ la imagen ${\displaystyle \pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)}$pueden construirse y por lo tanto las imágenes de un conjunto arbitrario de puntos. Las líneas${\displaystyle u}$ y ${\displaystyle v}$ contienen solo los puntos cónicos ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ resp .. Por lo tanto ${\displaystyle u}$ y ${\displaystyle v}$ son rectas tangentes de la sección cónica generada.

Una prueba de que este método genera una sección cónica se obtiene al cambiar a la restricción afín con la línea${\displaystyle w}$como la línea en el infinito , el punto${\displaystyle O}$ como el origen de un sistema de coordenadas con puntos ${\displaystyle U,V}$como puntos en el infinito de la x - y y eje x resp. y punto${\displaystyle E=(1,1)}$. La parte afín de la curva generada parece ser la hipérbola ${\displaystyle y=1/x}$. ^[2]

Observación:

1. La generación de Steiner de una sección cónica proporciona métodos simples para la construcción de elipses , parábolas e hipérbolas que se denominan comúnmente métodos de paralelogramo .
2. La figura que aparece al construir un punto (figura 3) es la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal . ^[6]

Generación Steiner de una cónica dual

elipse dual

Generación Steiner de una cónica dual

definición de un mapeo de perspectiva

Definiciones y generación dual

Dualizar (ver dualidad (geometría proyectiva) ) un plano proyectivo significa intercambiar los puntos con las líneas y las operaciones se intersecan y conectan . La estructura dual de un plano proyectivo es también un plano proyectivo. El plano dual de un plano pappiano es pappian y también puede ser coordinado por coordenadas homogéneas. Una sección cónica dual no degenerada se define análogamente por una forma cuadrática.

Se puede generar una cónica dual mediante el método dual de Steiner:

• Dados los conjuntos de puntos de dos rectas ${\displaystyle u,v}$ y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle u}$ sobre ${\displaystyle v}$. Entonces, las líneas que conectan los puntos correspondientes forman una sección cónica proyectiva dual no degenerada.

Un mapeo de perspectiva ${\displaystyle \pi }$ del conjunto de puntos de una línea ${\displaystyle u}$ en el conjunto de puntos de una línea ${\displaystyle v}$es una biyección (correspondencia 1-1) tal que las líneas de conexión de los puntos correspondientes se cruzan en un punto fijo${\displaystyle Z}$, que se llama el centro de la perspectiva${\displaystyle \pi }$ (ver figura).

Un mapeo proyectivo es una secuencia finita de mapeos de perspectiva.

Es habitual que, cuando se trata de secciones cónicas dobles y comunes, para llamar a la sección cónica común un punto cónica y una cónica del doble cónica línea .

En el caso de que el campo subyacente tenga ${\displaystyle Char=2}$todas las tangentes de un punto cónico se cruzan en un punto, llamado nudo (o núcleo ) de la cónica. Por lo tanto, el dual de un punto cónico no degenerado es un subconjunto de puntos de una línea dual y no una curva ovalada (en el plano dual). Entonces, solo en el caso de que${\displaystyle Char\neq 2}$ es el dual de un punto cónico no degenerado y una línea cónica no degenerada.

Ejemplos

Cónica de Steiner dual definida por dos perspectivas ${\displaystyle \pi _{A},\pi _{B}}$

ejemplo de una generación Steiner de una cónica dual

(1) Proyectividad dada por dos perspectivas:
Dos líneas${\displaystyle u,v}$ con punto de intersección ${\displaystyle W}$ se dan y una proyectividad ${\displaystyle \pi }$ desde ${\displaystyle u}$ sobre ${\displaystyle v}$ por dos perspectivas ${\displaystyle \pi _{A},\pi _{B}}$ con centros ${\displaystyle A,B}$. ${\displaystyle \pi _{A}}$ línea de mapas ${\displaystyle u}$ en una tercera línea ${\displaystyle o}$, ${\displaystyle \pi _{B}}$ línea de mapas ${\displaystyle o}$ en línea ${\displaystyle v}$(ver diagrama). Punto${\displaystyle W}$ no debe mentir en las líneas ${\displaystyle {\overline {AB}},o}$. Proyectividad${\displaystyle \pi }$ es la composición de las dos perspectivas: ${\displaystyle \ \pi =\pi _{B}\pi _{A}}$. De ahí un punto${\displaystyle X}$ está mapeado en ${\displaystyle \pi (X)=\pi _{B}\pi _{A}(X)}$ y la linea ${\displaystyle x={\overline {X\pi (X)}}}$ es un elemento de la cónica dual definida por ${\displaystyle \pi }$.
(Si${\displaystyle W}$ sería un punto fijo, ${\displaystyle \pi }$sería la perspectiva ^[7] .)

(2) Se dan tres puntos y sus imágenes:
El siguiente ejemplo es el doble dado arriba para una cónica de Steiner.
Las imágenes de los puntos${\displaystyle A,U,W}$ son dados: ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. El mapeo proyectivo${\displaystyle \pi }$ puede ser representado por el producto de las siguientes perspectivas ${\displaystyle \pi _{B},\pi _{A}}$:

1. ${\displaystyle \pi _{B}}$ es la perspectiva del conjunto de puntos de la línea ${\displaystyle u}$ en el conjunto de puntos de la línea ${\displaystyle o}$ con centro ${\displaystyle B}$.
2. ${\displaystyle \pi _{A}}$ es la perspectiva del conjunto de puntos de la línea ${\displaystyle o}$ en el conjunto de puntos de la línea ${\displaystyle v}$ con centro ${\displaystyle A}$.

Se comprueba fácilmente que el mapeo proyectivo ${\displaystyle \pi =\pi _{A}\pi _{B}}$ cumple ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. Por lo tanto, para cualquier punto arbitrario${\displaystyle G}$ la imagen ${\displaystyle \pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)}$ se puede construir y alinear ${\displaystyle {\overline {G\pi (G)}}}$es un elemento de una sección cónica dual no degenerada. Porque los puntos${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ están contenidos en las líneas ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ resp., los puntos ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ son puntos de la cónica y las rectas ${\displaystyle u,v}$ son tangentes en ${\displaystyle U,V}$.

Notas

1. Coxeter 1993 , p. 80
2. Hartmann , pág. 38
3. Merserve 1983 , p. sesenta y cinco
4. Vorlesungen über Synthetische Geometrie de Jacob Steiner , BG Teubner, Leipzig 1867 (de Google Books: (alemán) La Parte II sigue a la Parte I ) Parte II, pág. 96
5. Hartmann , pág. 19
6. Hartmann , pág. 32
7. H. Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie , BI, Mannheim, 1965, S. 49.

Referencias

• Coxeter, HSM (1993), El plano proyectivo real , Springer Science & Business Media
• Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF) , consultado el 20 de septiembre de 2014 (PDF; 891 kB).
• Merserve, Bruce E. (1983) [1959], Conceptos fundamentales de geometría , Dover, ISBN 0-486-63415-9