Von Staudt cónica

En geometría proyectiva , una cónica de von Staudt es el conjunto de puntos definido por todos los puntos absolutos de una polaridad que tiene puntos absolutos. En el plano proyectivo real, una cónica de von Staudt es una sección cónica en el sentido habitual. En planos proyectivos más generales , este no es siempre el caso. Karl Georg Christian von Staudt introdujo esta definición en Geometrie der Lage (1847) como parte de su intento de eliminar todos los conceptos métricos de la geometría proyectiva.

Polaridades

Una polaridad , π , de un plano proyectivo, P , es un involutivo (es decir, de orden dos) biyección entre los puntos y las líneas de P que conserva la relación de incidencia . Por lo tanto, una polaridad se refiere un punto Q con una línea q y, siguiendo Gergonne , q se denomina polar de Q y Q el polo de q . ^[1] Un punto absoluto ( línea ) de una polaridad es uno que incide con su polar (polo).^{[2] [3]}

Una polaridad puede tener o no puntos absolutos. Una polaridad con puntos absolutos se llama polaridad hiperbólica y una sin puntos absolutos se llama polaridad elíptica . ^[4] En el plano proyectivo complejo todas las polaridades son hiperbólicas, pero en el plano proyectivo real solo algunas lo son. ^[4]

Una clasificación de polaridades sobre campos arbitrarios se sigue de la clasificación de formas sesquilíneas dada por Birkhoff y von Neumann. ^[5] Las polaridades ortogonales, correspondientes a formas bilineales simétricas, también se denominan polaridades ordinarias y el lugar geométrico de los puntos absolutos forma una cónica no degenerada (conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática homogénea irreducible) si el campo no tiene la característica dos . En la característica dos, las polaridades ortogonales se llaman pseudopolaridades y en un plano los puntos absolutos forman una línea. ^[6]

Planos proyectivos finitos

Si π es una polaridad de un plano proyectivo finito (que no necesita ser desarguesiano), P , de orden n, entonces el número de sus puntos absolutos (o líneas absolutas), a ( π ) viene dado por:

una ( π ) = norte + 2 r √ norte + 1 ,

donde r es un número entero no negativo. ^[7] Dado que a ( π ) es un número entero, a ( π ) = n + 1 si n no es un cuadrado, y en este caso, π se llama polaridad ortogonal .

R. Baer ha demostrado que si n es impar, los puntos absolutos de una polaridad ortogonal forman un óvalo (es decir, n + 1 puntos, no hay tres colineales ), mientras que si n es par, los puntos absolutos se encuentran en una polaridad no absoluta. línea. ^[8]

En resumen, las cónicas de von Staudt no son óvalos en planos proyectivos finitos (desarguesianos o no) de orden par. ^{[9] [10]}

Relación con otros tipos de cónicas

Artículo principal: Plano no desarguesiano § Cónicas

En un plano papiano (es decir, un plano proyectivo coordinado por un campo ), si el campo no tiene la característica dos, una cónica de von Staudt es equivalente a una cónica de Steiner . ^[11] Sin embargo, R. Artzy ha demostrado que estas dos definiciones de cónicas pueden producir objetos no isomorfos en planos (infinitos) de Moufang . ^[12]

Notas

1. Coxeter , 1964 , p. 60
2. Garner , 1979 , p. 132
3. Coxeter y varios otros autores utilizan el término autoconjugado en lugar de absoluto.
4. Coxeter , 1964 , p. 72
5. Birkhoff, G .; von Neumann, J. (1936), "La lógica de la mecánica cuántica", Ann. Matemáticas. , 37 : 823–843
6. Barwick, Susan; Ebert, Gary (2008), Unitals in Projective Planes , Springer, págs. 16-18, ISBN 978-0-387-76364-4
7. Ball, RW (1948), "Dualidades de planos proyectivos finitos", Duke Mathematical Journal , 15 : 929–940, doi : 10.1215 / s0012-7094-48-01581-6
8. Baer, ​​Reinhold (1946), "Polaridades en planos proyectivos finitos", Boletín de la American Mathematical Society , 52 : 77-93, doi : 10.1090 / s0002-9904-1946-08506-7
9. Garner , 1979 , p. 133
10. Dembowski 1968 , págs. 154-155
11. Coxeter , 1964 , p. 80
12. Artzy, R. (1971), "La cónica y = x ² en los planos de Moufang", Aequationes Mathematicae , 6 : 30–35, doi : 10.1007 / bf01833234

Referencias

• Coxeter, HSM (1964), geometría proyectiva , Blaisdell
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275
• Garner, Cyril W L. (1979), "Cónicas en planos proyectivos finitos", Journal of Geometry , 12 (2): 132-138, doi : 10.1007 / bf01918221

Otras lecturas

• Ostrom, TG (1981), "Conicoides: figuras cónicas en planos no papianos", en Plaumann, Peter; Strambach, Karl (eds.), Geometry - Punto de vista de von Staudt , D. Reidel, págs. 175–196, ISBN 90-277-1283-2