Ecuación rígida

En matemáticas , una ecuación rígida es una ecuación diferencial para la cual ciertos métodos numéricos para resolver la ecuación son numéricamente inestables , a menos que el tamaño del paso se considere extremadamente pequeño. Ha resultado difícil formular una definición precisa de rigidez, pero la idea principal es que la ecuación incluye algunos términos que pueden conducir a una variación rápida en la solución.

Al integrar numéricamente una ecuación diferencial, uno esperaría que el tamaño de paso requerido fuera relativamente pequeño en una región donde la curva de solución muestra mucha variación y que fuera relativamente grande donde la curva de solución se endereza para acercarse a una línea con pendiente casi cero. Para algunos problemas este no es el caso. Para que un método numérico dé una solución confiable al sistema diferencial, a veces se requiere que el tamaño del paso esté en un nivel inaceptablemente pequeño en una región donde la curva de solución es muy suave. El fenómeno se conoce como rigidez.. En algunos casos puede haber dos problemas diferentes con la misma solución, pero uno no es rígido y el otro sí. Por tanto, el fenómeno no puede ser una propiedad de la solución exacta, ya que ésta es la misma para ambos problemas, y debe ser una propiedad del propio sistema diferencial. Estos sistemas se conocen como sistemas rígidos .

La figura (derecha) ilustra los problemas numéricos de varios integradores numéricos aplicados a la ecuación.

Uno de los ejemplos más destacados de las rígidas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) es un sistema que describe la reacción química de Robertson: ^[1]

${\displaystyle {\dot {x}}=-0.04x+10^{4}y\cdot z}$
${\displaystyle {\dot {y}}=0.04x-10^{4}y\cdot z-3\cdot 10^{7}y^{2}}$
${\displaystyle {\dot {z}}=3\cdot 10^{7}y^{2}}$

Si uno trata este sistema en un intervalo corto, por ejemplo, no hay problema en la integración numérica. Sin embargo, si el intervalo es muy grande (por ejemplo, 10 ¹¹ ), muchos códigos estándar no logran integrarlo correctamente.${\displaystyle t\in [0,40]}$

Métodos numéricos explícitos que muestran inestabilidad al integrar una ecuación diferencial ordinaria rígida

El disco rosa muestra la región de estabilidad del método de Euler.

La región rosa es la región de estabilidad para el método trapezoidal.

La región rosa es la región de estabilidad del método Adams-Bashforth de segundo orden.