Curva integral
En matemáticas , una curva integral es una curva paramétrica que representa una solución específica a una ecuación diferencial ordinaria o sistema de ecuaciones. Si la ecuación diferencial se representa como un campo vectorial o un campo de pendientes , entonces las curvas integrales correspondientes son tangentes al campo en cada punto.
Las curvas integrales se conocen con varios otros nombres, según la naturaleza y la interpretación de la ecuación diferencial o el campo vectorial. En física , las curvas integrales de un campo eléctrico o magnético se conocen como líneas de campo , y las curvas integrales del campo de velocidad de un fluido se conocen como líneas de corriente . En los sistemas dinámicos , las curvas integrales de una ecuación diferencial que gobierna un sistema se denominan trayectorias u órbitas .
Supongamos que F es un campo vectorial estático , es decir, una función vectorial con coordenadas cartesianas ( F 1 , F 2 ,..., F n ), y que x ( t ) es una curva paramétrica con coordenadas cartesianas ( x 1 ( t ), x 2 ( t ),..., x n ( t )). Entonces x ( t ) es una curva integral de Fsi es una solución del sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias,
Esta ecuación dice que el vector tangente a la curva en cualquier punto x ( t ) a lo largo de la curva es precisamente el vector F ( x ( t )), por lo que la curva x ( t ) es tangente en cada punto al campo vectorial F .
Si un campo vectorial dado es continuo de Lipschitz , entonces el teorema de Picard-Lindelöf implica que existe un flujo único por poco tiempo.
Sea M una variedad de Banach de clase C r con r ≥ 2. Como es habitual, T M denota el fibrado tangente de M con su proyección natural π M : T M → M dada por
