Número de Strahler
En matemáticas , el número de Strahler o el número de Horton-Strahler de un árbol matemático es una medida numérica de su complejidad ramificada.
Estos números fueron desarrollados por primera vez en hidrología por Robert E. Horton ( 1945 ) y Arthur Newell Strahler ( 1952 , 1957 ); en esta aplicación, se conocen como el orden de las corrientes de Strahler y se utilizan para definir el tamaño de las corrientes en función de una jerarquía de afluentes . También surgen en el análisis de sistemas L y de estructuras biológicas jerárquicas como árboles (biológicos) y sistemas respiratorios y circulatorios de animales, en la asignación de registros para la compilación de lenguajes de programación de alto nivel y en el análisis deredes sociales . Shreve [1] [2] y Hodgkinson et al han desarrollado sistemas alternativos de ordenación de corrientes . [3] Smart ofrece una comparación estadística de los sistemas Strahler y Shreve, junto con un análisis de las longitudes de la transmisión / enlace. [4]
Todos los árboles en este contexto son gráficos dirigidos , orientados desde la raíz hacia las hojas; en otras palabras, son arborescencias . El grado de un nodo en un árbol es solo su número de hijos. Se puede asignar un número de Strahler a todos los nodos de un árbol, en orden ascendente, de la siguiente manera:
Algorítmicamente , estos números pueden asignarse realizando una búsqueda en profundidad primero y asignando el número de cada nodo en el postorder . Los mismos números también se pueden generar mediante un proceso de poda en el que el árbol se simplifica en una secuencia de etapas, donde en cada etapa uno elimina todos los nodos de hojas y todos los caminos de los nodos de grado uno que conducen a las hojas: el número de Strahler de un nodo es la etapa en la que se eliminaría mediante este proceso, y el número de Strahler de un árbol es el número de etapas necesarias para eliminar todos sus nodos. Otra definición equivalente del número de Strahler de un árbol es que es la altura del árbol binario completo más grande que se puede incrustar homeomórficamenteen el árbol dado; el número de Strahler de un nodo en un árbol es igualmente la altura del árbol binario completo más grande que se puede incrustar debajo de ese nodo.
Cualquier nodo con el número de Strahler i debe tener al menos dos descendientes con el número de Strahler i - 1, al menos cuatro descendientes con el número de Strahler i - 2, etc., y al menos 2 descendientes de hojas i - 1 . Por lo tanto, en un árbol con n nodos, el número de Strahler más grande posible es log 2 n + 1. [5] Sin embargo, a menos que el árbol forme un árbol binario completo, su número de Strahler será menor que este límite. En un árbol binario de n nodos , elegido uniformemente al azar entre todos los árboles binarios posibles , el índice esperado de la raíz es con alta probabilidad muy cercano a log 4 n . [6]
En la aplicación del orden de arroyos de Strahler a la hidrología, cada segmento de un arroyo o río dentro de una red fluvial se trata como un nodo en un árbol, con el siguiente segmento aguas abajo como su padre. Cuando dos corrientes de primer orden se unen, forman una corriente de segundo orden . Cuando dos corrientes de segundo orden se unen, forman una corriente de tercer orden . Las corrientes de orden inferior que se unen a una corriente de orden superior no cambian el orden de la corriente superior. Por lo tanto, si una secuencia de primer orden se une a una secuencia de segundo orden, permanece como una secuencia de segundo orden. No es hasta que un flujo de segundo orden se combina con otro flujo de segundo orden que se convierte en un flujo de tercer orden. Al igual que con los árboles matemáticos, un segmento con índice idebe ser alimentado por al menos 2 i - 1 tributarios diferentes del índice 1. Shreve señaló que las leyes de Horton y Strahler deben esperarse de cualquier distribución topológicamente aleatoria. Una revisión posterior de las relaciones confirmó este argumento, estableciendo que, a partir de las propiedades que describen las leyes, no se puede sacar ninguna conclusión que explique la estructura u origen de la red de arroyos. [3] [7]
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