En elasticidad lineal , las ecuaciones que describen la deformación de un cuerpo elástico sujeto solo a fuerzas superficiales (y / o fuerzas corporales que podrían expresarse como potenciales) en el límite son (usando notación de índice ) la ecuación de equilibrio:
dónde es el tensor de tensión y las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell:
Una solución general de estas ecuaciones se puede expresar en términos del tensor de tensión de Beltrami . Las funciones de tensión se derivan como casos especiales de este tensor de tensión de Beltrami que, aunque menos general, a veces producirá un método de solución más manejable para las ecuaciones elásticas.
Funciones de estrés de Beltrami
Se puede demostrar [1] que una solución completa de las ecuaciones de equilibrio se puede escribir como
Usando notación de índice:
Notación de ingeniería
dónde es un campo tensorial arbitrario de segundo rango que es al menos dos veces diferenciable y se conoce como tensor de tensión de Beltrami . [1] Sus componentes se conocen como funciones de estrés de Beltrami .es el pseudotensor Levi-Civita , con todos los valores iguales a cero excepto aquellos en los que los índices no se repiten. Para un conjunto de índices no repetidos, el valor del componente será +1 para las permutaciones pares de los índices y -1 para las permutaciones impares. Yes el operador de Nabla . Para que el tensor de tensiones de Beltrami satisfaga las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell además de las ecuaciones de equilibrio, se requiere además que es al menos cuatro veces continuamente diferenciable.
Funciones de estrés de Maxwell
Las funciones de tensión de Maxwell se definen asumiendo que el tensor de tensión de Beltramiestá restringido a ser de la forma. [2]
El tensor de tensión que obedece automáticamente a la ecuación de equilibrio ahora se puede escribir como: [2]
La solución al problema elastostático ahora consiste en encontrar las tres funciones de tensión que dan un tensor de tensión que obedece a las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell para la tensión. Sustituyendo las expresiones de la tensión en las ecuaciones de Beltrami-Michell se obtiene la expresión del problema elastostático en términos de las funciones de tensión: [3]
Estos también deben producir un tensor de tensión que obedezca las condiciones de contorno especificadas.
Función de estrés aireado
La función de esfuerzo de Airy es un caso especial de las funciones de esfuerzo de Maxwell, en el que se supone que A = B = 0 y C es una función de xey solamente. [2] Por tanto, esta función de tensión sólo se puede utilizar para problemas bidimensionales. En la literatura sobre elasticidad, la función de estrés generalmente está representado por y las tensiones se expresan como
Dónde y son valores de fuerzas corporales en la dirección relevante.
En coordenadas polares las expresiones son:
Funciones de estrés de Morera
Las funciones de tensión de Morera se definen asumiendo que el tensor de tensión de Beltramiel tensor está restringido a la forma [2]
La solución al problema elastostático ahora consiste en encontrar las tres funciones de tensión que dan un tensor de tensión que obedece a las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell. Sustituyendo las expresiones de la tensión en las ecuaciones de Beltrami-Michell se obtiene la expresión del problema elastostático en términos de las funciones de tensión: [4]
Función de estrés de Prandtl
La función de tensión de Prandtl es un caso especial de las funciones de tensión de Morera, en el que se supone que A = B = 0 y C es una función de xey únicamente. [4]
Notas
- ↑ a b Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad: teoría, aplicaciones y numéricas . Libros de ciencia y tecnología de Elsevier. pag. 363. ISBN 978-0-12-605811-6.
- ^ a b c d Sadd, MH (2005) Elasticidad: teoría, aplicaciones y números , Elsevier, p. 364
- ^ Knops (1958) p327
- ↑ a b Sadd, MH (2005) Elasticidad: teoría, aplicaciones y numéricas , Elsevier, p. 365
Referencias
- Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad - Teoría, aplicaciones y numéricas . Nueva York: Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 0-12-605811-3. OCLC 162576656 .
- Knops, RJ (1958). "Sobre la variación de la relación de Poisson en la solución de problemas elásticos". The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . Prensa de la Universidad de Oxford. 11 (3): 326–350. doi : 10.1093 / qjmam / 11.3.326 .