En la teoría del orden , un subconjunto A de un conjunto P parcialmente ordenado es un antichain fuerte hacia abajo si es un antichain en el que no hay dos elementos distintos que tengan un límite inferior común en P , es decir,
En el caso donde P está ordenado por inclusión y cerrado bajo subconjuntos, pero no contiene el conjunto vacío, esto es simplemente una familia de conjuntos disjuntos por pares.
Un fuerte hacia arriba anticadena B es un subconjunto de P en el que no hay dos elementos distintos tienen un común límite superior en P . Los autores a menudo omiten el término "hacia arriba" y "hacia abajo" y simplemente se refieren a antichains fuertes. Desafortunadamente, no existe una convención común sobre qué versión se llama antichain fuerte. En el contexto del forzamiento , los autores a veces también omiten el término "fuerte" y simplemente se refieren a antichains. Para resolver ambigüedades en este caso, el tipo más débil de antichain se llama antichain débil .
Si ( P , ≤) es un orden parcial y existen distintos x , y ∈ P tales que { x , y } es un antichain fuerte, entonces ( P , ≤) no puede ser un retículo (o incluso un semirretículo ), ya que por definición, cada dos elementos en una celosía (o se encuentran con una semirrejilla) deben tener un límite inferior común. Por lo tanto, las celosías solo tienen antichains fuertes triviales (es decir, antichains fuertes de cardinalidad como máximo 1).
Referencias
- Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas, Holanda del Norte : Compañía Editorial de Holanda del Norte , p. 53 , ISBN 9780444854018