Relaciones de incertidumbre más fuertes

La relación de incertidumbre de Heisenberg es uno de los resultados fundamentales de la mecánica cuántica. ^[1] Más tarde, Robertson demostró la relación de incertidumbre para dos observables generales no conmutados , ^[2] que fue reforzada por Schrödinger . ^[3]Sin embargo, la relación de incertidumbre convencional como la relación de Robertson-Schrödinger no puede dar un límite no trivial para el producto de las varianzas de dos observables incompatibles porque el límite inferior en las desigualdades de incertidumbre puede ser nulo y, por lo tanto, trivial incluso para los observables que son incompatibles en el estado del sistema. La relación de incertidumbre de Heisenberg-Robertson-Schrödinger se demostró en los albores del formalismo cuántico y está siempre presente en la enseñanza e investigación de la mecánica cuántica. Después de unos 85 años de existencia de la relación de incertidumbre, este problema fue resuelto recientemente por Lorenzo Maccone y Arun K. Pati . Las relaciones de incertidumbre estándar se expresan en términos del producto de las variaciones de los resultados de medición de los observables y${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$, y el producto puede ser nulo incluso cuando una de las dos varianzas es diferente de cero. Sin embargo, las relaciones de incertidumbre más fuertes debidas a Maccone y Pati proporcionan diferentes relaciones de incertidumbre, basadas en la suma de varianzas que se garantiza que no serán triviales siempre que los observables sean incompatibles en el estado del sistema cuántico. ^[4] (Trabajos anteriores sobre relaciones de incertidumbre formuladas como la suma de varianzas incluyen, por ejemplo, He et. Al., ^[5] y Ref. ^[6] debido a Huang.)

Las relaciones de incertidumbre Maccone-Pati

Las relaciones de incertidumbre de Heisenberg-Robertson o Schrödinger no capturan completamente la incompatibilidad de los observables en un estado cuántico dado. Las relaciones de incertidumbre más fuertes dan límites no triviales a la suma de las varianzas de dos observables incompatibles. Para dos observables que no conmutan y la primera relación de incertidumbre más fuerte viene dada por${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Delta A^{2}+\Delta B^{2}\geq \pm i\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle +|\langle \Psi |(A\pm iB)|{\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$

donde , , es un vector que es ortogonal al estado de sistema, es decir, y uno debe elegir la señal de modo que este es un número positivo.${\displaystyle \Delta A^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi |A|\Psi \rangle ^{2}}$${\displaystyle \Delta B^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi |B|\Psi \rangle ^{2}}$${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$${\displaystyle \langle \Psi |{\bar {\Psi }}\rangle =0}$${\displaystyle \pm i\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle }$

La otra relación de incertidumbre más fuerte no trivial está dada por

${\displaystyle \Delta A^{2}+\Delta B^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}|(A+B)|\Psi \rangle |^{2},}$

donde es un vector unitario ortogonal a . La forma de implica que el lado derecho de la nueva relación de incertidumbre es distinto de cero a menos que sea ​​un autoestado de .${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle (A+B)}$

Se puede probar una versión mejorada de la relación de incertidumbre de Heisenberg-Robertson que se lee como

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq {\frac {\pm {\frac {i}{2}}\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle }{1-{\frac {1}{2}}|\langle \Psi |({\frac {A}{\Delta A}}\pm i{\frac {B}{\Delta B}})|{\bar {\Psi }}\rangle |^{2}}}.}$

La relación de incertidumbre de Heisenberg-Robertson se deriva de la relación de incertidumbre anterior.

Observaciones

En teoría cuántica se debe distinguir entre la relación de incertidumbre y el principio de incertidumbre. El primero se refiere únicamente a la preparación del sistema que induce una dispersión en los resultados de la medición, y no se refiere a la perturbación inducida por la medición. El principio de incertidumbre captura la perturbación de la medición por parte del aparato y la imposibilidad de realizar mediciones conjuntas de observables incompatibles. Las relaciones de incertidumbre de Maccone-Pati se refieren a relaciones de incertidumbre de preparación. Estas relaciones establecen fuertes limitaciones para la inexistencia de estados propios comunes para observables incompatibles. Las relaciones de incertidumbre de Maccone-Pati se han probado experimentalmente para sistemas de qutrit. ^[7]Las nuevas relaciones de incertidumbre no solo capturan la incompatibilidad de los observables, sino también de las cantidades que son medibles físicamente (ya que las varianzas se pueden medir en el experimento).

Referencias

1. Heisenberg, W. (1927). "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik". Zeitschrift für Physik (en alemán). Springer Science and Business Media LLC. 43 (3–4): 172–198. Código Bib : 1927ZPhy ... 43..172H . doi : 10.1007 / bf01397280 . ISSN  1434-6001 . S2CID  122763326 .
2. Robertson, HP (1 de julio de 1929). "El principio de incertidumbre". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 34 (1): 163-164. Código Bibliográfico : 1929PhRv ... 34..163R . doi : 10.1103 / physrev.34.163 . ISSN 0031-899X . 
3. E. Schrödinger, "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften", Physikalisch-mathische Klasse 14 , 296 (1930)
4. Maccone, Lorenzo; Pati, Arun K. (31 de diciembre de 2014). "Relaciones de incertidumbre más fuertes para todos los observables incompatibles". Cartas de revisión física . 113 (26): 260401. arXiv : 1407.0338 . Código Bibliográfico : 2014PhRvL.113z0401M . doi : 10.1103 / physrevlett.113.260401 . ISSN 0031-9007 . PMID 25615288 .  
5. Él, Qiongyi; Peng, Shi-Guo; Drummond, Peter; Reid, Margaret (10 de agosto de 2011). "Interferometría de átomo y compresión cuántica plana". Physical Review A . 84 (2): 022107. arXiv : 1101.0448 . Código Bibliográfico : 2011PhRvA..84b2107H . doi : 10.1103 / PhysRevA.84.022107 . S2CID 7885824 . 
6. Huang, Yichen (10 de agosto de 2012). "Relaciones de incertidumbre basadas en la varianza". Physical Review A . 86 (2): 024101. arXiv : 1012.3105 . Código bibliográfico : 2012PhRvA..86b4101H . doi : 10.1103 / PhysRevA.86.024101 . S2CID 118507388 . 
7. Wang, Kunkun; Zhan, Xiang; Bian, Zhihao; Li, Jian; Zhang, Yongsheng; Xue, Peng (11 de mayo de 2016). "Investigación experimental de las relaciones de incertidumbre más fuertes para todos los observables incompatibles". Physical Review A . 93 (5): 052108. arXiv : 1604.05901 . Código Bibliográfico : 2016PhRvA..93e2108W . doi : 10.1103 / physreva.93.052108 . ISSN 2469-9926 . S2CID 118404774 .  

Otras fuentes

• Research Highlight, NATURE ASIA, 19 de enero de 2015, "La relación de incertidumbre de Heisenberg se fortalece" ^[1]

1. "La relación de incertidumbre de Heisenberg se fortalece". Nature India . 2015. doi : 10.1038 / nindia.2015.6 .