En la teoría de la probabilidad , existen varias nociones diferentes de convergencia de variables aleatorias . La convergencia de secuencias de variables aleatorias a alguna variable aleatoria límite es un concepto importante en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos . Los mismos conceptos se conocen en matemáticas más generales como convergencia estocástica.y formalizan la idea de que una secuencia de eventos esencialmente aleatorios o impredecibles a veces se puede esperar que se estabilice en un comportamiento que esencialmente no cambia cuando se estudian elementos lo suficientemente avanzados en la secuencia. Las diferentes nociones posibles de convergencia se relacionan con cómo se puede caracterizar tal comportamiento: dos comportamientos fácilmente comprensibles son que la secuencia finalmente toma un valor constante y que los valores en la secuencia continúan cambiando pero pueden describirse mediante una distribución de probabilidad invariable.
La "convergencia estocástica" formaliza la idea de que a veces se puede esperar que una secuencia de eventos esencialmente aleatorios o impredecibles se asiente en un patrón. El patrón puede ser, por ejemplo,
Estos otros tipos de patrones que pueden surgir se reflejan en los diferentes tipos de convergencia estocástica que se han estudiado.
Si bien la discusión anterior se relaciona con la convergencia de una sola serie a un valor límite, la noción de la convergencia de dos series entre sí también es importante, pero esto se maneja fácilmente al estudiar la secuencia definida como la diferencia o la razón. de las dos series.
Por ejemplo, si el promedio de n variables aleatorias independientes Y i , i = 1, ..., n , todas con la misma media finita y varianza , viene dado por
luego, cuando n tiende a infinito, X n converge en probabilidad (ver más abajo) a la media común , μ, de las variables aleatorias Y i . Este resultado se conoce como la ley débil de los grandes números . Otras formas de convergencia son importantes en otros teoremas útiles, incluido el teorema del límite central .