Reordenamiento decreciente simétrico

En matemáticas , el reordenamiento simétrico decreciente de una función es una función que es simétrica y decreciente, y cuyos conjuntos de niveles son del mismo tamaño que los de la función original. ^[1]

Dado un conjunto medible , , en R ⁿ , se define el reordenamiento simétrica de , llamada , el balón como centrado en el origen, cuyo volumen ( medida de Lebesgue ) es la misma que la del conjunto . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {*}}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle A ^ {*} = \ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n}: \, \ omega _ {n} \ cdot | x | ^ {n} <| A | \},}$

donde es el volumen de la bola unitaria y donde es el volumen de .${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$${\ Displaystyle | A |}$${\ Displaystyle A}$

La reordenación de una función de valor real medible no negativa cuyos conjuntos de niveles ( ) tienen medida finita es${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y)}$${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

donde denota la función de indicador del conjunto A . En palabras, el valor de da la altura para la cual el radio de la reordenación simétrica de es igual a . Tenemos la siguiente motivación para esta definición. Porque la identidad${\ Displaystyle \ mathbb {I} _ {A}}$${\ Displaystyle f ^ {*} (x)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ {y: f (y)> t \}}$${\ Displaystyle x}$

La función y su reordenamiento decreciente simétrico conservan la medida de los conjuntos de niveles.