En el estudio matemático de la geometría diferencial de superficies , una tangente desarrollable es un tipo particular de superficie desarrollable obtenida de una curva en el espacio euclidiano como la superficie barrida por las líneas tangentes a la curva. Tal superficie es también la envolvente de los planos tangentes a la curva.
Parametrización
Dejar ser una parametrización de una curva espacial suave. Es decir,es una función dos veces diferenciable con derivada que no desaparece en ninguna parte que mapea su argumento(un número real ) a un punto en el espacio; la curva es la imagen de. Luego, una superficie bidimensional, la tangente desarrollable de, puede ser parametrizado por el mapa
La curva original forma un límite de la tangente desarrollable, y se llama su directriz o borde de regresión. Esta curva se obtiene desarrollando primero la superficie en el plano y luego considerando la imagen en el plano de los generadores de la regla en la superficie. La envolvente de esta familia de líneas es una curva plana cuya imagen inversa bajo el desarrollo es el borde de regresión. Intuitivamente, es una curva a lo largo de la cual la superficie debe doblarse durante el proceso de desarrollo en el plano.
Propiedades
La tangente desarrollable es una superficie desarrollable ; es decir, es una superficie con curvatura gaussiana cero . Es uno de los tres tipos fundamentales de superficie desarrollable; los otros dos son los conos generalizados (la superficie trazada por una familia unidimensional de líneas a través de un punto fijo) y los cilindros (superficies trazadas por una familia unidimensional de líneas paralelas ). (El plano a veces se da como un cuarto tipo, o puede verse como un caso especial de cualquiera de estos dos tipos.) Toda superficie desarrollable en un espacio tridimensional puede formarse pegando piezas de estos tres tipos; De esto se sigue que toda superficie desarrollable es una superficie reglada , una unión de una familia de líneas unidimensionales. [2] Sin embargo, no todas las superficies regladas se pueden desarrollar; el helicoide proporciona un contraejemplo.
La tangente desarrollable de una curva que contiene un punto de torsión cero contendrá una auto-intersección.
Historia
Los desarrollos tangentes fueron estudiados por primera vez por Leonhard Euler en 1772. [3] Hasta ese momento, las únicas superficies desarrollables conocidas eran los conos generalizados y los cilindros. Euler demostró que los desarrollos tangentes son desarrollables y que cada superficie desarrollable es de uno de estos tipos. [2]
Notas
- ^ Pressley, Andrew (2010), geometría diferencial elemental , Springer, p. 129, ISBN 1-84882-890-X.
- ^ a b Lawrence, Snežana (2011), "Superficies de desarrollo: su historia y aplicación", Nexus Network Journal , 13 (3): 701–714, doi : 10.1007 / s00004-011-0087-z.
- ^ Euler, L. (1772), "De solidis quorum superficiem in planum explicare licet" , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (en latín), 16 : 3-34.
Referencias
- Struik, Dirk Jan (1961), Conferencias sobre geometría diferencial clásica , Addison-Wesley.
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2.a ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
- Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Superficie Desarrollable" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Edge of regression" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press