El teorema de la indefinibilidad de Tarski , establecido y demostrado por Alfred Tarski en 1933, es un resultado limitativo importante en la lógica matemática , los fundamentos de las matemáticas y en la semántica formal . Informalmente, el teorema establece que la verdad aritmética no se puede definir en la aritmética .
El teorema se aplica de manera más general a cualquier sistema formal suficientemente fuerte , lo que demuestra que la verdad en el modelo estándar del sistema no se puede definir dentro del sistema.
En 1931, Kurt Gödel publicó los teoremas de incompletitud , que demostró en parte mostrando cómo representar la sintaxis de la lógica formal dentro de la aritmética de primer orden . A cada expresión del lenguaje formal de la aritmética se le asigna un número distinto. Este procedimiento se conoce como numeración de Gödel , codificación y, más generalmente, como aritmetización. En particular, varios conjuntos de expresiones se codifican como conjuntos de números. Para varias propiedades sintácticas (como ser una fórmula , ser una oración , etc.), estos conjuntos son computables. Además, cualquier conjunto computable de números puede definirse mediante alguna fórmula aritmética. Por ejemplo, hay fórmulas en el lenguaje de la aritmética que definen el conjunto de códigos para oraciones aritméticas y para oraciones aritméticas demostrables.
El teorema de la indefinibilidad muestra que esta codificación no se puede realizar para conceptos semánticos como la verdad. Muestra que ningún lenguaje interpretado suficientemente rico puede representar su propia semántica. Un corolario es que cualquier metalenguaje capaz de expresar la semántica de algún lenguaje objeto debe tener un poder expresivo superior al del lenguaje objeto. El metalenguaje incluye nociones primitivas, axiomas y reglas ausentes en el lenguaje objeto, por lo que hay teoremas demostrables en el metalenguaje que no son demostrables en el lenguaje objeto.
El teorema de la indefinibilidad se atribuye convencionalmente a Alfred Tarski . Gödel también descubrió el teorema de indefinibilidad en 1930, mientras demostraba sus teoremas de incompletitud publicados en 1931, y mucho antes de la publicación en 1933 del trabajo de Tarski (Murawski 1998). Si bien Gödel nunca publicó nada relacionado con su descubrimiento independiente de la indefinibilidad, lo describió en una carta de 1931 a John von Neumann . Tarski había obtenido casi todos los resultados de su monografía de 1933 " El concepto de verdad en los lenguajes de las ciencias deductivas "." entre 1929 y 1931, y habló sobre ellos a audiencias polacas. Sin embargo, como enfatizó en el documento, el teorema de indefinibilidad fue el único resultado que no obtuvo antes. De acuerdo con la nota al pie del teorema de indefinibilidad (Twierdzenie I) del En la monografía de 1933, el teorema y el bosquejo de la prueba se agregaron a la monografía solo después de que el manuscrito se envió a la imprenta en 1931. Tarski informa allí que, cuando presentó el contenido de su monografía a la Academia de Ciencias de Varsovia en marzo El 21 de enero de 1931, expresó en este lugar solo algunas conjeturas, basadas en parte en sus propias investigaciones y en parte en el breve informe de Gödel sobre los teoremas de incompletitud " Einige metamathematische Resultate über Entscheidungsdefinitheit und Widerspruchsfreiheit", Akademie der Wissenschaften en Viena, 1930.
Primero enunciaremos una versión simplificada del teorema de Tarski, luego enunciaremos y demostraremos en la siguiente sección el teorema que Tarski demostró en 1933.