En teoría de números , el teorema de Tijdeman establece que hay como máximo un número finito de potencias consecutivas. Dicho de otra manera, el conjunto de soluciones en números enteros x , y , n , m de la ecuación diofántica exponencial
Historia
El teorema fue probado por el teórico de números holandés Robert Tijdeman en 1976, [3] haciendo uso del método de Baker en la teoría de números trascendental para dar un límite superior efectivo para x , y , m , n . Michel Langevin calculó un valor de exp exp exp exp 730 para el límite. [1] [4] [5]
El teorema de Tijdeman proporcionó un fuerte impulso hacia la eventual prueba de la conjetura de Catalán por Preda Mihăilescu . [6] El teorema de Mihăilescu establece que solo hay un miembro en el conjunto de pares de potencia consecutivos, a saber, 9 = 8 + 1. [7]
Problema de Tijdeman generalizado
Que los poderes sean consecutivos es esencial para la prueba de Tijdeman; si reemplazamos la diferencia de 1 por cualquier otra diferencia k y preguntamos por el número de soluciones de
con n y m mayor que uno tenemos un problema sin resolver, [8] llamado el problema Tijdeman generalizada. Se conjetura que este conjunto también será finito. Esto se seguiría de una conjetura aún más fuerte de Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1931), ver la conjetura de Catalán , afirmando que la ecuaciónsolo tiene un número finito de soluciones. La verdad de la conjetura de Pillai, a su vez, se seguiría de la verdad de la conjetura abc . [9]
Referencias
- ^ a b Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Teoría de números racionales en el siglo XX: de PNT a FLT , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , p. 352, ISBN 978-0-857-29531-6
- ^ Schmidt, Wolfgang M. (1996), Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2ª ed.), Springer-Verlag , p. 207, ISBN 978-3-540-54058-8, Zbl 0754.11020
- ^ Tijdeman, Robert (1976), "Sobre la ecuación del catalán", Acta Arithmetica , 29 (2): 197-209, doi : 10.4064 / aa-29-2-197-209 , Zbl 0286.10013
- ^ Ribenboim, Paulo (1979), 13 conferencias sobre el último teorema de Fermat , Springer-Verlag , p. 236, ISBN 978-0-387-90432-0, Zbl 0456.10006
- ^ Langevin, Michel (1977), "Quelques applications de nouveaux résultats de Van der Poorten", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 17e Année (1975/76), Théorie des Nombres , 2 (G12), MR 0498426
- ^ Metsänkylä, Tauno (2004), "La conjetura del catalán: otro viejo problema diofantino resuelto" (PDF) , Boletín de la American Mathematical Society , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090 / S0273-0979-03-00993-5
- ^ Mihăilescu, Preda (2004), "Unidades ciclotómicas primarias y una prueba de la conjetura del catalán", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004 (572): 167-195, doi : 10.1515 / crll.2004.048 , MR 2076124
- ^ Shorey, Tarlok N .; Tijdeman, Robert (1986). Ecuaciones exponenciales diofánticas . Cambridge Tracts in Mathematics. 87 . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 202. ISBN 978-0-521-26826-4. Señor 0891406 . Zbl 0606.10011 .
- ^ Narkiewicz (2011) , págs. 253-254