La conjetura abc (también conocida como la conjetura de Oesterlé-Masser ) es una conjetura en la teoría de números , propuesta por primera vez por Joseph Oesterlé ( 1988 ) y David Masser ( 1985 ). Se afirma en términos de tres números enteros positivos, un , b y c (de ahí el nombre) que son relativamente primos y satisfacen un + b = c . Si d denota el producto de los distintos factores primos de abc, la conjetura esencialmente establece que d no suele ser mucho menor que c . En otras palabras: si un y b se componen de grandes potencias de números primos, entonces c es por lo general no es divisible por grandes potencias de números primos. Varias conjeturas y teoremas famosos de la teoría de números se seguirían inmediatamente de la conjetura abc o sus versiones. Goldfeld (1996) describió la conjetura abc como "el problema no resuelto más importante en el análisis diofantino ".
Campo | Teoría de los números |
---|---|
Conjeturado por | Joseph Oesterlé David Masser |
Conjeturado en | 1985 |
Equivalente a | Conjetura de Szpiro modificada |
Consecuencias |
La conjetura abc se originó como resultado de los intentos de Oesterlé y Masser de comprender la conjetura de Szpiro sobre curvas elípticas , [1] que involucra más estructuras geométricas en su enunciado que la conjetura abc . Se demostró que la conjetura abc es equivalente a la conjetura modificada de Szpiro. [2]
Se han realizado varios intentos para probar la conjetura abc, pero ninguno es aceptado actualmente por la comunidad matemática convencional y, a partir de 2020, la conjetura todavía se considera en gran medida como no probada. [3] [4]
Formulaciones
Antes de enunciar la conjetura, introducimos la noción de radical de un número entero : para un entero positivo n , el radical de n , denotado rad ( n ), es el producto de los distintos factores primos de n . Por ejemplo
- rad (16) = rad (2 4 ) = rad (2) = 2,
- rad (17) = 17,
- rad (18) = rad (2 ⋅ 3 2 ) = 2 · 3 = 6,
- rad (1000000) = rad (2 6 ⋅ 5 6 ) = 2 ⋅ 5 = 10.
Si un , b , y c son primos entre sí [notas 1] enteros positivos tales que un + b = c , resulta que "generalmente" c
- Para cada número real positivo ε , existen solo un número finito de triples ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c , tales que
Una formulación equivalente es:
- Para cada número real positivo ε , existe una constante K ε tal que para todos los triples ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c :
Una tercera formulación equivalente de la conjetura involucra la cualidad q ( a , b , c ) del triple ( a , b , c ), que se define como
Por ejemplo:
- q (4, 127, 131) = log (131) / log (rad (4 · 127 · 131)) = log (131) / log (2 · 127 · 131) = 0.46820 ...
- q (3, 125, 128) = log (128) / log (rad (3 · 125 · 128)) = log (128) / log (30) = 1.426565 ...
Un triple típico ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tendrá c
- Para cada número real positivo ε , existen solo un número finito de triples ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tales que q ( a , b , c )> 1 + ε .
Mientras que se sabe que hay infinitos triples ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tales que q ( a , b , c )> 1, la conjetura predice que solo un número finito de ellos tienen q > 1.01 oq > 1.001 o incluso q > 1.0001, etc. En particular, si la conjetura es cierta, entonces debe existir un triple ( a , b , c ) que logre la máxima calidad posible q ( a , b , c ).
Ejemplos de triples con radicales pequeños
La condición de que ε > 0 es necesaria ya que existen infinitos triples a , b , c con c > rad ( abc ). Por ejemplo, deja
El número entero b es divisible por 9:
Usando este hecho calculamos:
Al reemplazar el exponente 6 n por otros exponentes que obligan a b a tener factores cuadrados más grandes, la relación entre el radical y c puede hacerse arbitrariamente pequeña. Específicamente, sea p > 2 un primo y considere
Ahora afirmamos que b es divisible por p 2 :
El último paso usa el hecho de que p 2 divide 2 p ( p −1) - 1. Esto se sigue del pequeño teorema de Fermat , que muestra que, para p > 2, 2 p −1 = pk + 1 para algún entero k . Elevar ambos lados a la potencia de p muestra que 2 p ( p −1) = p 2 (...) + 1.
Y ahora, con un cálculo similar al anterior, tenemos
A continuación se proporciona una lista de los triples de mayor calidad (triples con un radical particularmente pequeño en relación con c ); Eric Reyssat ( Lando & Zvonkin 2004 , p. 137) encontró la calidad más alta, 1,6299
- a = 2,
- b = 3 10 · 109 = 6 436 341 ,
- c = 23 5 = 6 436 343 ,
- rad ( abc ) = 15 042 .
Algunas consecuencias
La conjetura abc tiene una gran cantidad de consecuencias. Estos incluyen tanto resultados conocidos (algunos de los cuales han sido probados por separado desde que se estableció la conjetura) como conjeturas para las cuales da una prueba condicional . Las consecuencias incluyen:
- Teorema de Roth sobre la aproximación diofántica de números algebraicos. [5]
- La conjetura de Mordell (ya probada en general por Gerd Faltings ). [6]
- Como equivalente, la conjetura de Vojta en la dimensión 1. [7]
- La conjetura de Erdős-Woods permite un número finito de contraejemplos. [8]
- La existencia de infinitos números primos que no son de Wieferich en cada base b > 1. [9]
- La forma débil de la conjetura de Marshall Hall sobre la separación entre cuadrados y cubos de números enteros. [10]
- La conjetura de Fermat-Catalán , una generalización del último teorema de Fermat sobre potencias que son sumas de potencias. [11]
- La L -Función L ( s , χ d ) formado con el símbolo de Legendre , no tiene Siegel cero , dada una versión uniforme de la abc conjetura en los campos de número, no sólo el abc conjetura como se formuló anteriormente para números enteros racionales. [12]
- Un polinomio P ( x ) tiene solo un número finito de potencias perfectas para todos los enteros x si P tiene al menos tres ceros simples. [13]
- Una generalización del teorema de Tijdeman sobre el número de soluciones de y m = x n + k (el teorema de Tijdeman responde al caso k = 1) y la conjetura de Pillai (1931) sobre el número de soluciones de Ay m = Bx n + k .
- Como equivalente, la conjetura de Granville-Langevin, que si f es una forma binaria libre de cuadrados de grado n > 2, entonces para cada β > 2 real hay una constante C ( f , β ) tal que para todos los enteros coprimos x , y , el radical de f ( x , y ) excede C · max {| x |, | y |} n - β . [14]
- Como equivalente, la conjetura de Szpiro modificada , que produciría un límite de rad ( abc ) 1.2+ ε . [2]
- Dąbrowski (1996) ha demostrado que la conjetura abc implica que la ecuación diofántica n ! + A = k 2 solo tiene un número finito de soluciones para cualquier entero A dado .
- Hay ~ c f N números enteros positivos n ≤ N para los cuales f ( n ) / B 'es libre de cuadrados, con c f > 0 una constante positiva definida como: [15]
- El último teorema de Fermat tiene una famosa prueba difícil de Andrew Wiles. Sin embargo, sigue fácilmente, al menos para, de una forma efectiva de una versión débil de la conjetura abc. La conjetura abc dice que el límite del conjunto de todas las cualidades (definido anteriormente) es 1, lo que implica la afirmación mucho más débil de que hay un límite superior finito para las cualidades. La conjetura de que 2 es un límite superior es suficiente para una prueba muy breve del último teorema de Fermat para. [dieciséis]
- La conjetura de Beal , una generalización del último teorema de Fermat que propone que si A , B , C , x , y y z son números enteros positivos con A x + B y = C z y x , y , z > 2, entonces A , B , y C tienen un factor primo común. La conjetura abc implicaría que solo hay un número finito de contraejemplos.
- Conjetura de Lang , un límite inferior para la altura de un punto racional sin torsión de una curva elíptica.
- Una solución negativa al problema de Erdős-Ulam . [17]
Resultados teóricos
La conjetura abc implica que c puede estar acotada arriba por una función casi lineal del radical de abc . Se conocen límites que son exponenciales . Específicamente, se han probado los siguientes límites:
- ( Stewart y Tijdeman 1986 ),
- ( Stewart y Yu 1991 ) y
- ( Stewart y Yu 2001 ).
En estos límites, K 1 y K 3 son constantes que no dependen de un , b , o c , y K 2 es una constante que depende de ε (en una forma efectiva computable manera), pero no en una , b , o c . Los límites se aplican a cualquier triple para el que c > 2.
Resultados computacionales
En 2006, el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Leiden en los Países Bajos, junto con el instituto de ciencias holandés Kennislink, lanzó el proyecto ABC @ Home , un sistema de computación en cuadrícula , que tiene como objetivo descubrir triples adicionales a , b , c con rad ( abc ) < c . Aunque ningún conjunto finito de ejemplos o contraejemplos puede resolver la conjetura abc , se espera que los patrones en los triples descubiertos por este proyecto conduzcan a conocimientos sobre la conjetura y sobre la teoría de números en general.
q C | q > 1 | q > 1,05 | q > 1,1 | q > 1,2 | q > 1.3 | q > 1,4 |
---|---|---|---|---|---|---|
c <10 2 | 6 | 4 | 4 | 2 | 0 | 0 |
c <10 3 | 31 | 17 | 14 | 8 | 3 | 1 |
c <10 4 | 120 | 74 | 50 | 22 | 8 | 3 |
c <10 5 | 418 | 240 | 152 | 51 | 13 | 6 |
c <10 6 | 1,268 | 667 | 379 | 102 | 29 | 11 |
c <10 7 | 3,499 | 1,669 | 856 | 210 | 60 | 17 |
c <10 8 | 8,987 | 3.869 | 1.801 | 384 | 98 | 25 |
c <10 9 | 22,316 | 8.742 | 3.693 | 706 | 144 | 34 |
c <10 10 | 51,677 | 18.233 | 7.035 | 1,159 | 218 | 51 |
c <10 11 | 116,978 | 37,612 | 13,266 | 1.947 | 327 | 64 |
c <10 12 | 252,856 | 73,714 | 23,773 | 3,028 | 455 | 74 |
c <10 13 | 528,275 | 139,762 | 41,438 | 4.519 | 599 | 84 |
c <10 14 | 1.075.319 | 258.168 | 70,047 | 6.665 | 769 | 98 |
c <10 15 | 2,131,671 | 463,446 | 115,041 | 9.497 | 998 | 112 |
c <10 16 | 4.119.410 | 812,499 | 184,727 | 13,118 | 1.232 | 126 |
c <10 17 | 7.801.334 | 1.396.909 | 290,965 | 17,890 | 1,530 | 143 |
c <10 18 | 14,482,065 | 2,352,105 | 449,194 | 24,013 | 1.843 | 160 |
En mayo de 2014, ABC @ Home había encontrado 23,8 millones de triples. [19]
Rango | q | a | B | C | Descubierto por |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1,6299 | 2 | 3 10 · 109 | 23 5 | Eric Reyssat |
2 | 1,6260 | 11 2 | 3 2 · 5 6 · 7 3 | 2 21 · 23 | Benne de Weger |
3 | 1,6235 | 19 · 1307 | 7 · 29 2 · 31 8 | 2 8 · 3 22 · 5 4 | Jerzy Browkin y Juliusz Brzezinski |
4 | 1.5808 | 283 | 5 11 · 13 2 | 2 8 · 3 8 · 17 3 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski y Abderrahmane Nitaj |
5 | 1.5679 | 1 | 2 · 3 7 | 5 4 · 7 | Benne de Weger |
Nota: la calidad q ( a , b , c ) del triple ( a , b , c ) se define arriba .
La conjetura abc es un análogo entero del teorema de Mason-Stothers para polinomios.
Un fortalecimiento, propuesto por Baker (1998) , establece que en la conjetura abc se puede reemplazar rad ( abc ) por
- ε - ω rad ( abc ),
donde ω es el número total de números primos distintos que dividen un , b y c . [21]
Andrew Granville notó que el mínimo de la función encima ocurre cuando
Esto incitó a Baker (2004) a proponer una forma más aguda de la conjetura abc , a saber:
con κ una constante absoluta. Después de algunos experimentos computacionales, encontró que un valor deera admisible para κ .
Esta versión se llama " conjetura abc explícita ".
Baker (1998) también describe conjeturas relacionadas de Andrew Granville que darían límites superiores en c de la forma
donde Ω ( n ) es el número total de factores primos de n , y
donde Θ ( n ) es el número de enteros hasta n divisible solo por números primos que dividen n .
Robert, Stewart y Tenenbaum (2014) propusieron una desigualdad más precisa basada en Robert y Tenenbaum (2013) . Sea k = rad ( abc ). Conjeturaron que hay una constante C 1 tal que
se mantiene mientras que hay una constante C 2 tal que
tiene infinitamente a menudo.
Browkin y Brzeziński (1994) formularon la conjetura n, una versión de la conjetura abc que involucra n > 2 enteros.
Pruebas reclamadas
Lucien Szpiro propuso una solución en 2007, pero poco después se descubrió que era incorrecta. [22]
Desde agosto de 2012, Shinichi Mochizuki ha reclamado una prueba de la conjetura de Szpiro y, por lo tanto, la conjetura abc. [23] Publicó una serie de cuatro preprints desarrollando una nueva teoría que llamó teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT) que luego se aplica para probar la conjetura abc. [24] Los artículos no han sido aceptados por la comunidad matemática como prueba de abc. [25] Esto no se debe solo a su dificultad de comprensión y extensión, [26] sino también a que al menos un punto específico del argumento ha sido identificado como un vacío por algunos otros expertos. [27] Aunque algunos matemáticos han avalado la exactitud de la demostración, [28] y han intentado comunicar su comprensión a través de talleres sobre IUTT, no han logrado convencer a la comunidad de la teoría de números en general. [29] [30]
En marzo de 2018, Peter Scholze y Jakob Stix visitaron Kioto para conversar con Mochizuki. [31] [32] Si bien no resolvieron las diferencias, las enfocaron más claramente. Scholze y Stix escribieron un informe afirmando y explicando un error en la lógica de la prueba y afirmando que la brecha resultante era "tan severa que ... pequeñas modificaciones no rescatarán la estrategia de la prueba"; [33] Mochizuki afirmó que entendieron mal los aspectos vitales de la teoría e hicieron simplificaciones inválidas. [34] [35] [36]
El 3 de abril de 2020, dos matemáticos japoneses anunciaron que la supuesta prueba de Mochizuki se publicaría en Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas (RIMS), una revista de la cual Mochizuki es editor en jefe. [3] El anuncio fue recibido con escepticismo por Kiran Kedlaya y Edward Frenkel , además de ser descrito por Nature como "poco probable que traslade a muchos investigadores al campo de Mochizuki". [3]
Ver también
- Lista de problemas matemáticos sin resolver
Notas
- ^ Cuando a + b = c , la coprimidad de a , b , c implica la coprimidad por pares de a , b , c . Entonces, en este caso, no importa qué concepto usemos.
Referencias
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enlaces externos
- ABC @ home Proyecto de informática distribuida denominado ABC @ Home .
- Tan fácil como el abecedario : explicación detallada y fácil de seguir de Brian Hayes.
- Weisstein, Eric W. "Conjetura abc" . MathWorld .
- Página de inicio de la conjetura ABC de Abderrahmane Nitaj
- Página web ABC Triples de Bart de Smit
- http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
- El ABC de la teoría de números por Noam D. Elkies
- Preguntas sobre Number de Barry Mazur
- Filosofía detrás del trabajo de Mochizuki en la conjetura ABC sobre MathOverflow
- Página wiki del proyecto ABC Conjecture Polymath que enlaza con varias fuentes de comentarios sobre los artículos de Mochizuki.
- abc Conjetura Numberphile video
- Noticias sobre IUT de Mochizuki