La conjetura de toida

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En matemática combinatoria , la conjetura de Toida , debida a Shunichi Toida en 1977, ^[1] es un refinamiento de la conjetura refutada de Ádám de 1967.

Ambas conjeturas se refieren a gráficos circulantes . Estos son gráficos definidos a partir de un número entero positivo y un conjunto de números enteros positivos. Sus vértices se pueden identificar con los números del 0 al , y dos vértices y están conectados por una arista siempre que su módulo de diferencia pertenezca al conjunto . Toda simetría del grupo cíclico de módulo de adición da lugar a una simetría de las gráficas circulantes -vertex, y Ádám conjetura (incorrectamente) que estas son las únicas simetrías de las gráficas circulantes.${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle n-1}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Sin embargo, los contraejemplos conocidos de la conjetura de Ádám involucran conjuntos en los que algunos elementos comparten divisores no triviales . Estados de Toida conjetura de que, cuando cada miembro de es relativamente primo a , entonces la única simetrías de la gráfica circulant para y son simetrías procedentes del grupo cíclico subyacente.${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle S}$

La conjetura fue probada en el caso especial donde n es una potencia principal por Klin y Poschel en 1978, ^[2] y por Golfand, Najmark y Poschel en 1984. ^[3]

La conjetura fue probada completamente por Muzychuk, Klin y Poschel en 2001 utilizando el álgebra de Schur , ^[4] y simultáneamente por Dobson y Morris en 2002 utilizando la clasificación de grupos simples finitos . ^[5]

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