En matemáticas, las álgebras de Schur , que llevan el nombre de Issai Schur , son ciertas álgebras de dimensión finita estrechamente asociadas con la dualidad de Schur-Weyl entre grupos generales lineales y simétricos . Se utilizan para relacionar las teorías de representación de esos dos grupos . Su uso fue promovido por la influyente monografía de JA Green publicada por primera vez en 1980. [1] El nombre "álgebra de Schur" se debe a Green. En el caso modular (sobre infinitos campos de característica positiva), Gordon James y Karin Erdmann utilizaron álgebras de Schur.para mostrar que los problemas (aún abiertos) de calcular números de descomposición para grupos lineales generales y grupos simétricos son en realidad equivalentes. [2] Friedlander y Suslin utilizaron álgebras de Schur para probar la generación finita de cohomología de esquemas de grupos finitos . [3]
Construcción
El álgebra de Schur se puede definir para cualquier anillo conmutativo y enteros . Considere el álgebra de polinomios (con coeficientes en) en variables de conmutación , 1 ≤ yo , j ≤. Denotamos por los polinomios homogéneos de grado . Elementos deson k -combinaciones lineales de monomios formadas al multiplicar juntos de los generadores (que permite la repetición). Por lo tanto
Ahora, tiene un naturales coalgebra estructura con comultiplication y contar los homomorfismos de álgebra dados en los generadores por
- ( Delta de Kronecker ).
Dado que la multiplicación es un homomorfismo de álgebra, es una bialgebra . Uno comprueba fácilmente que es una subcoalgebra de la bialgebra , por cada r ≥ 0.
Definición. El álgebra de Schur (en grados) es el álgebra . Es decir, es el dual lineal de .
Es un hecho general que el dual lineal de una coalgebraes un álgebra de forma natural, donde la multiplicación en el álgebra es inducida por la dualización de la comultiplicación en la coalgebra. Para ver esto, deja
y, dados funcionales lineales , en , definen su producto como el funcional lineal dado por
El elemento de identidad para esta multiplicación de funcionales es la cuenta en .
Principales propiedades
- Una de las propiedades más básicas expresa como álgebra centralizadora. Dejar ser el espacio de rango vectores de columna sobre y forman el poder tensorial
Entonces el grupo simétrico en las letras actúan naturalmente en el espacio tensorial por permutación de lugar, y uno tiene un isomorfismo
En otras palabras, puede verse como el álgebra de endomorfismos del espacio tensorial que conmuta con la acción del grupo simétrico .
- es libre sobre de rango dado por el coeficiente binomial .
- Varias bases de son conocidos, muchos de los cuales están indexados por pares de tableaux de forma de Young semiestándar, como varía sobre el conjunto de particiones de en no más de partes.
- En caso de que k sea un campo infinito,también puede identificarse con el álgebra envolvente (en el sentido de H. Weyl) para la acción del grupo lineal general actuando sobre el espacio tensorial (a través de la acción diagonal sobre los tensores, inducida por la acción natural de en dada por la multiplicación de matrices).
- Las álgebras de Schur se "definen sobre los números enteros". Esto significa que satisfacen el siguiente cambio de propiedad de los escalares:
- para cualquier anillo conmutativo .
- Las álgebras de Schur proporcionan ejemplos naturales de álgebras cuasihereditarias [4] (como las definen Cline, Parshall y Scott) y, por lo tanto, tienen buenas propiedades homológicas . En particular, las álgebras de Schur tienen una dimensión global finita .
Generalizaciones
- Las álgebras de Schur generalizadas (asociadas a cualquier grupo algebraico reductivo ) fueron introducidas por Donkin en la década de 1980. [5] Estos también son cuasihereditarios.
- Casi al mismo tiempo, Dipper y James [6] introdujeron las álgebras de Schur cuantificadas (o álgebras q-Schur para abreviar), que son un tipo de deformación q de las álgebras clásicas de Schur descritas anteriormente, en las que el grupo simétrico se reemplaza por el álgebra de Hecke correspondiente y el grupo lineal general por un grupo cuántico apropiado .
- También existen álgebras q-Schur generalizadas , que se obtienen generalizando el trabajo de Dipper y James de la misma manera que Donkin generalizó las álgebras clásicas de Schur. [7]
- Hay más generalizaciones, como las álgebras afines q-Schur [8] relacionadas con las álgebras afines Kac-Moody Lie y otras generalizaciones, como las álgebras ciclotómicas q-Schur [9] relacionadas con las álgebras Ariki-Koike (que deformaciones de ciertos grupos de reflexión complejos ).
El estudio de estas diversas clases de generalizaciones forma un área activa de investigación contemporánea.
Referencias
- ^ JA Green , Representaciones polinomiales de GL n , Springer Lecture Notes 830, Springer-Verlag 1980. MR 2349209 , ISBN 978-3-540-46944-5 , ISBN 3-540-46944-3
- ^ Karin Erdmann, números de descomposición para grupos simétricos y factores de composición de módulos de Weyl. Journal of Algebra 180 (1996), 316–320. doi : 10.1006 / jabr.1996.0067 Señor1375581
- ^ Eric Friedlander y Andrei Suslin , Cohomología de esquemas de grupos finitos sobre un campo. Inventiones Mathematicae 127 (1997), 209-270. SEÑOR1427618 doi : 10.1007 / s002220050119
- ^ Edward Cline, Brian Parshall y Leonard Scott, Álgebras de dimensión finita y categorías de mayor peso. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik [Diario de Crelle] 391 (1988), 85–99. SEÑOR0961165
- ^ Stephen Donkin, Sobre álgebras de Schur y álgebras relacionadas, I. Journal of Algebra 104 (1986), 310–328. doi : 10.1016 / 0021-8693 (86) 90218-8 Señor0866778
- ^ Richard Dipper y Gordon James, El álgebra q-Schur. Actas del London Math. Society (3) 59 (1989), 23–50. doi : 10.1112 / plms / s3-59.1.23 Señor0997250
- ^ Stephen Doty, Presentando álgebras q-Schur generalizadas. Representation Theory 7 (2003), 196-213 (electrónico). doi : 10.1090 / S1088-4165-03-00176-6
- ^ RM Green, El álgebra afín de q-Schur. Revista de álgebra 215 (1999), 379--411. doi : 10.1006 / jabr.1998.7753
- ^ Richard Dipper, Gordon James y Andrew Mathas, Álgebras ciclotómicas de q-Schur. Matemáticas. Zeitschrift 229 (1998), 385--416. doi : 10.1007 / PL00004665 Señor1658581
Otras lecturas
- Stuart Martin, Schur Álgebras y teoría de la representación , Cambridge University Press 1993. MR2482481 , ISBN 978-0-521-10046-5
- Andrew Mathas, álgebras de Iwahori-Hecke y álgebras de Schur del grupo simétrico , University Lecture Series, vol.15, American Mathematical Society, 1999. MR1711316 , ISBN 0-8218-1926-7
- Hermann Weyl , Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones . Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1939. MR0000255 , ISBN 0-691-05756-7