teorema de topkis

En economía matemática , el teorema de Topkis es un resultado útil para establecer estática comparativa . El teorema permite a los investigadores comprender cómo cambia el valor óptimo de una variable de elección cuando cambia una característica del entorno. El resultado establece que si f es supermodular en ( x , θ ) y D es una red , entonces no es decreciente en θ . El resultado es especialmente útil para establecer resultados estáticos comparativos cuando la función objetivo no es diferenciable. El resultado lleva el nombre de Donald M. Topkis . $x^{*}(\theta )=\arg \max _{x\in D}f(x,\theta )$

Este ejemplo mostrará cómo el uso del teorema de Topkis da el mismo resultado que el uso de herramientas más estándar. La ventaja de usar el teorema de Topkis es que se puede aplicar a una clase más amplia de problemas que los que se pueden estudiar con herramientas económicas estándar.

Un conductor conduce por una carretera y debe elegir una velocidad, s . Es deseable ir más rápido, pero es más probable que resulte en un accidente. Hay cierta prevalencia de baches, p . La presencia de baches aumenta la probabilidad de choque. Tenga en cuenta que s es una variable de elección y p es un parámetro del entorno que se fija desde la perspectiva del conductor. El conductor busca . ${\ estilo de visualización \ max _ {s} U (s, p)}$

Nos gustaría entender cómo cambia la velocidad del conductor (una variable de elección) con la cantidad de baches:

Si uno quisiera resolver el problema con herramientas estándar tales como el teorema de la función implícita , uno tendría que asumir que el problema se comporta bien: U (.) es dos veces continuamente diferenciable, cóncavo en s , que el dominio sobre el cual s está definido es convexo, y que existe un único maximizador para cada valor de p y que está en el interior del conjunto sobre el que se define s . Tenga en cuenta que la velocidad óptima es una función de la cantidad de baches. Tomando la condición de primer orden, sabemos que en el óptimo, . Derivando la condición de primer orden, con respecto a p $s^{\ast}(p)$ $s^{\ast}(p)$ $U_{s}(s^{\ast}(p),p)=0$ y usando el teorema de la función implícita, encontramos que

y más baches provoca menos exceso de velocidad. Claramente, es más razonable suponer que son sustitutos.