En economía , la estática comparativa es la comparación de dos resultados económicos diferentes, antes y después de un cambio en algún parámetro exógeno subyacente . [1]
Como tipo de análisis estático , compara dos estados de equilibrio diferentes , después del proceso de ajuste (si lo hubiera). No estudia el movimiento hacia el equilibrio, ni el proceso de cambio en sí.
La estática comparativa se usa comúnmente para estudiar los cambios en la oferta y la demanda cuando se analiza un mercado único , y para estudiar los cambios en la política monetaria o fiscal cuando se analiza la economía en su conjunto . La estática comparada es una herramienta de análisis en microeconomía (incluido el análisis de equilibrio general ) y macroeconomía . La estática comparativa fue formalizada por John R. Hicks (1939) y Paul A. Samuelson (1947) (Kehoe, 1987, p. 517), pero se presentó gráficamente al menos desde la década de 1870. [2]
Para los modelos de tasas de cambio de equilibrio estable, como el modelo de crecimiento neoclásico , la dinámica comparativa es la contraparte de la estática comparativa (Eatwell, 1987).
Aproximación lineal
Los resultados de la estática comparativa generalmente se obtienen utilizando el teorema de la función implícita para calcular una aproximación lineal al sistema de ecuaciones que define el equilibrio, bajo el supuesto de que el equilibrio es estable. Es decir, si consideramos un cambio suficientemente pequeño en algún parámetro exógeno, podemos calcular cómo cambia cada variable endógena utilizando solo las primeras derivadas de los términos que aparecen en las ecuaciones de equilibrio.
Por ejemplo, suponga el valor de equilibrio de alguna variable endógena está determinada por la siguiente ecuación:
dónde es un parámetro exógeno. Luego, para una aproximación de primer orden, el cambio en causado por un pequeño cambio en debe satisfacer:
Aquí y representar los cambios en y , respectivamente, mientras y son las derivadas parciales de con respecto a y (evaluado en los valores iniciales de y ), respectivamente. De manera equivalente, podemos escribir el cambio en como:
Dividiendo la última ecuación por d a, se obtiene la derivada estática comparativa de x con respecto a a , también llamado multiplicador de a sobre x :
Muchas ecuaciones e incógnitas
Todas las ecuaciones anteriores siguen siendo verdaderas en el caso de un sistema de ecuaciones en incógnitas. En otras palabras, suponga representa un sistema de ecuaciones que involucran el vector de incógnitas , y el vector de parámetros dados . Si hacemos un cambio lo suficientemente pequeño en los parámetros, entonces los cambios resultantes en las variables endógenas pueden aproximarse arbitrariamente bien por . En este caso, representa el × matriz de derivadas parciales de las funciones con respecto a las variables , y representa el × matriz de derivadas parciales de las funciones con respecto a los parámetros . (Las derivadas en y se evalúan en los valores iniciales de y .) Tenga en cuenta que si se desea solo el efecto estático comparativo de una variable exógena sobre una variable endógena, la regla de Cramer se puede utilizar en el sistema de ecuaciones totalmente diferenciado.
Estabilidad
El supuesto de que el equilibrio es estable es importante por dos razones. Primero, si el equilibrio fuera inestable, un pequeño cambio de parámetro podría provocar un gran salto en el valor de, invalidando el uso de una aproximación lineal. Por otra parte, Paul A. Samuelson 's principio de correspondencia [3] [4] [5] : pp.122-123. establece que la estabilidad del equilibrio tiene implicaciones cualitativas sobre los efectos estáticos comparativos. En otras palabras, saber que el equilibrio es estable puede ayudarnos a predecir si cada uno de los coeficientes del vectores positivo o negativo. Específicamente, una de las n condiciones necesarias y conjuntamente suficientes para la estabilidad es que el determinante de la matriz B n × n tenga un signo particular; ya que este determinante aparece como denominador en la expresión para, el signo del determinante influye en los signos de todos los elementos del vector de efectos estáticos comparativos.
Un ejemplo del papel del supuesto de estabilidad
Suponga que las cantidades demandadas y ofertadas de un producto están determinadas por las siguientes ecuaciones:
dónde es la cantidad demandada, se suministra la cantidad, P es el precio, una y c son parámetros de intercepción determinadas por influencias exógenas sobre demanda y el suministro, respectivamente, b <0 es el recíproco de la pendiente de la curva de demanda , y g es la inversa de la pendiente de la curva de oferta; g > 0 si la curva de oferta tiene pendiente positiva, g = 0 si la curva de oferta es vertical y g <0 si la curva de oferta se inclina hacia atrás. Si equiparamos la cantidad ofrecida con la cantidad demandada para encontrar el precio de equilibrio, encontramos eso
Esto significa que el precio de equilibrio depende positivamente de la intersección de la demanda si g - b > 0, pero depende negativamente de ella si g - b <0. ¿Cuál de estas posibilidades es relevante? De hecho, partiendo de un equilibrio estático inicial y luego cambiando a , el nuevo equilibrio es relevante solo si el mercado realmente llega a ese nuevo equilibrio. Suponga que los ajustes de precios en el mercado ocurren de acuerdo con
dónde > 0 es la velocidad del parámetro de ajuste y es la derivada del precio en el tiempo , es decir, indica qué tan rápido y en qué dirección cambia el precio. Según la teoría de la estabilidad , P convergerá a su valor de equilibrio si y solo si la derivada es negativo. Esta derivada está dada por
Esto es negativo si y solo si g - b > 0, en cuyo caso el parámetro de intersección de la demanda a influye positivamente en el precio. Entonces podemos decir que mientras la dirección del efecto de la intersección de la demanda sobre el precio de equilibrio es ambigua cuando todo lo que sabemos es que el recíproco de la pendiente de la curva de oferta, g , es negativo, en el único caso relevante (en el que el precio realmente va a su nuevo valor de equilibrio) un aumento en la intersección de la demanda aumenta el precio. Tenga en cuenta que este caso, con g - b > 0, es el caso en el que la curva de oferta, si tiene pendiente negativa, es más pronunciada que la curva de demanda.
Sin restricciones
Suponer es una función objetiva suave y estrictamente cóncava donde x es un vector de n variables endógenas yq es un vector de m parámetros exógenos. Considere el problema de la optimización sin restricciones. Dejar, la matriz de n por n de las primeras derivadas parciales decon respecto a sus primeros n argumentos x 1 , ..., x n . El maximizadorestá definido por la condición de primer orden n × 1.
La estática comparativa pregunta cómo cambia este maximizador en respuesta a cambios en los m parámetros. El objetivo es encontrar.
La concavidad estricta de la función objetivo implica que el jacobiano de f , que es exactamente la matriz de las segundas derivadas parciales de p con respecto a las variables endógenas, es no singular (tiene una inversa). Por el teorema de la función implícita , entonces, puede verse localmente como una función continuamente diferenciable, y la respuesta local de a pequeños cambios en q viene dado por
Aplicando la regla de la cadena y la condición de primer orden,
(Ver teorema de la envolvente ).
Solicitud de maximización de beneficios
Suponga que una empresa produce n bienes en cantidades. La ganancia de la empresa es una función p dey de m parámetros exógenosque pueden representar, por ejemplo, varios tipos impositivos. Siempre que la función de ganancias satisfaga los requisitos de suavidad y concavidad, el método de estática comparativa anterior describe los cambios en las ganancias de la empresa debido a pequeños cambios en las tasas impositivas.
Con limitaciones
Una generalización del método anterior permite que el problema de optimización incluya un conjunto de restricciones. Esto conduce al teorema general de la envolvente . Las aplicaciones incluyen determinar los cambios en la demanda marshalliana en respuesta a cambios en el precio o el salario.
Limitaciones y extensiones
Una limitación de la estática comparativa que usa el teorema de la función implícita es que los resultados son válidos solo en una vecindad (potencialmente muy pequeña) del óptimo, es decir, solo para cambios muy pequeños en las variables exógenas. Otra limitación es la naturaleza potencialmente demasiado restrictiva de los supuestos utilizados convencionalmente para justificar los procedimientos de estática comparativa. Por ejemplo, John Nachbar descubrió en uno de sus estudios de caso que el uso de estática comparativa en el análisis de equilibrio general funciona mejor con un nivel de datos individual muy pequeño que con un nivel agregado. [6]
Paul Milgrom y Chris Shannon [7] señalaron en 1994 que los supuestos usados convencionalmente para justificar el uso de estática comparativa en problemas de optimización no son realmente necesarios; específicamente, los supuestos de convexidad de conjuntos preferidos o conjuntos de restricciones, suavidad de sus límites, condiciones de la primera y segunda derivada, y linealidad de conjuntos presupuestarios o funciones objetivo. De hecho, a veces un problema que cumple estas condiciones puede transformarse monótonamente para dar un problema con estática comparativa idéntica pero violando algunas o todas estas condiciones; por tanto, estas condiciones no son necesarias para justificar la estática comparativa. A partir del artículo de Milgrom y Shannon, así como de los resultados obtenidos por Veinott [8] y Topkis [9], se desarrolló una importante línea de investigación operativa denominada estática comparativa monótona . En particular, esta teoría se concentra en el análisis de estática comparativa utilizando solo condiciones que son independientes de las transformaciones que preservan el orden. El método utiliza la teoría de la celosía e introduce las nociones de cuasi-supermodularidad y la condición de un solo cruce. La amplia aplicación de la estática comparativa monótona a la economía incluye teoría de la producción, teoría del consumidor, teoría de juegos con información completa e incompleta, teoría de subastas y otras. [10]
Ver también
- Modelo (economía)
- Economía cualitativa
Notas
- ↑ (Mas-Colell, Whinston y Green, 1995, p. 24; Silberberg y Suen, 2000)
- ^ Fleeming Jenkin (1870), "La representación gráfica de las leyes de la oferta y la demanda, y su aplicación al trabajo", en Alexander Grant, Recess Studies y (1872), "Sobre los principios que regulan la incidencia de los impuestos", Actas de la Royal Society of Edinburgh 1871-2 , págs. 618-30. , también en Papers, Literary, Scientific, & c , v. 2 (1887), ed. SC Colvin y JA Ewing a través de enlaces de desplazamiento a los capítulos .
- ^ Samuelson, Paul, "La estabilidad del equilibrio: estática y dinámica comparativas", Econometrica 9, abril de 1941, 97-120: introduce el concepto del principio de correspondencia.
- ^ Samuelson, Paul, "La estabilidad del equilibrio: sistemas lineales y no lineales", Econometrica 10 (1), enero de 1942, 1-25: acuña el término "principio de correspondencia".
- ^ Baumol, William J., Economic Dynamics , Macmillan Co., tercera edición, 1970.
- ^ "UM Weblogin" . weblogin.umich.edu . doi : 10.1057 / 978-1-349-95121-5_322-2 . Consultado el 2 de diciembre de 2020 .
- ^ Milgrom, Paul y Shannon, Chris. "Estática comparativa monótona" (1994). Econometrica, vol. 62 Número 1, págs. 157-180.
- ^ Veinott (1992): Programación de celosía: optimización cualitativa y equilibrios. MS Stanford.
- ^ Ver: Topkis, DM (1979): "Puntos de equilibrio en juegos submodulares de n-personas de suma distinta de cero", SIAM Journal of Control and Optimization, 17, 773–787; así como Topkis, DM (1998): Supermodularity and Complementarity, Frontiers of Economic Research, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 .
- ^ Ver: Topkis, DM (1998): Supermodularidad y complementariedad, Fronteras de la investigación económica, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 ; y Vives, X. (2001): Oligopoly Pricing: Old Ideas and New Tools. Prensa del MIT, ISBN 9780262720403 .
Referencias
- John Eatwell y col., Ed. (1987). "Dinámica comparativa", The New Palgrave: Un diccionario de economía , v. 1, p. 517.
- John R. Hicks (1939). Valor y Capital .
- Timothy J. Kehoe, 1987. "Estática comparativa", The New Palgrave: A Dictionary of Economics , v. 1, págs. 517-20.
- Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston y Jerry R. Green, 1995. Teoría microeconómica .
- Paul A. Samuelson (1947). Fundamentos del análisis económico .
- Eugene Silberberg y Wing Suen, 2000. La estructura de la economía: un análisis matemático , 3ª edición.
enlaces externos
- Departamento de Economía de la Universidad Estatal de San José - Análisis de estática comparativa
- Glosario de AmosWeb
- Glosario del Instituto de Riesgos de la IFCI (del glosario de la Bolsa de Valores de Estados Unidos ) [1]