Derivada topológica

La derivada topológica es, conceptualmente, una derivada de una forma funcional con respecto a cambios infinitesimales en su topología, como agregar un agujero o grieta infinitesimal. Cuando se usa en dimensiones superiores a uno, el término gradiente topológico también se usa para nombrar el término de primer orden de la expansión asintótica topológica, que trata solo con perturbaciones infinitesimales de dominio singular. Tiene aplicaciones en optimización de forma, optimización de topología , procesamiento de imágenes y modelado mecánico.

Sea un dominio abierto acotado de , con , que está sujeto a una perturbación no suave confinada en una pequeña región de tamaño con un punto arbitrario de y un dominio fijo de . Sea una función característica asociada al dominio no perturbado y sea una función característica asociada al dominio perforado . Un funcional de forma dado asociado al dominio topológicamente perturbado admite la siguiente expansión asintótica topológica : ${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ estilo de visualización d \ geq 2}$ $\omega _{\varepsilon}({\tilde {x}})={\tilde {x}}+\varepsilon \omega$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\tilde {x}}$ ${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ estilo de visualización \ Psi}$ ${\ estilo de visualización \ Psi _ {\ varepsilon}}$ $\Omega_{\varepsilon}=\Omega \backslash {\overline {\omega_{\varepsilon}}}$ ${\ Displaystyle \ Phi (\ Psi _ {\ varepsilon} ({\ tilde {x}}))}$