La optimización de topología ( TO ) es un método matemático que optimiza el diseño del material dentro de un espacio de diseño dado, para un conjunto dado de cargas, condiciones de contorno y restricciones con el objetivo de maximizar el rendimiento del sistema. TO es diferente de la optimización de la forma y la optimización del tamaño en el sentido de que el diseño puede alcanzar cualquier forma dentro del espacio de diseño, en lugar de tratar con configuraciones predefinidas.
La formulación convencional de TO utiliza un método de elementos finitos (FEM) para evaluar el desempeño del diseño. El diseño se optimiza utilizando técnicas de programación matemática basadas en gradientes , como el algoritmo de criterios de optimización y el método de movimiento de asíntotas o algoritmos no basados en gradientes, como los algoritmos genéticos .
La optimización de topología tiene una amplia gama de aplicaciones en ingeniería aeroespacial, mecánica, bioquímica y civil. Actualmente, los ingenieros utilizan principalmente TO a nivel de concepto de un proceso de diseño. Debido a las formas libres que ocurren naturalmente, el resultado es a menudo difícil de fabricar. Por esa razón, el resultado que surge de TO a menudo se ajusta para la capacidad de fabricación. Agregar restricciones a la formulación para aumentar la capacidad de fabricación es un campo activo de investigación. En algunos casos, los resultados de TO pueden fabricarse directamente mediante fabricación aditiva ; Por lo tanto, TO es una parte clave del diseño para la fabricación aditiva .
Planteamiento del problema
Un problema de optimización de topología se puede escribir en la forma general de un problema de optimización como:
El enunciado del problema incluye lo siguiente:
- Una función objetiva . Esta función representa la cantidad que se minimiza para obtener el mejor rendimiento. La función objetivo más común es el cumplimiento, donde minimizar el cumplimiento conduce a maximizar la rigidez de una estructura.
- La distribución de material como variable problema. Esto se describe por la densidad del material en cada ubicación.. El material está presente, indicado por un 1, o ausente, indicado por un 0. es un campo de estado que satisface una ecuación de estado lineal o no lineal.
- El espacio de diseño . Esto indica el volumen permitido dentro del cual puede existir el diseño. Los requisitos de montaje y embalaje, la accesibilidad humana y de las herramientas son algunos de los factores que deben tenerse en cuenta al identificar este espacio. Con la definición del espacio de diseño, las regiones o componentes del modelo que no se pueden modificar durante el curso de la optimización se consideran regiones sin diseño.
- limitaciones una característica que la solución debe satisfacer. Algunos ejemplos son la cantidad máxima de material a distribuir (restricción de volumen) o los valores máximos de tensión.
Evaluar a menudo incluye la resolución de una ecuación diferencial. Esto se hace más comúnmente usando el método de elementos finitos ya que estas ecuaciones no tienen una solución analítica conocida.
Metodologías de implementación
Existen varias metodologías de implementación que se han utilizado para resolver problemas de TO.
Discreto
La resolución de problemas de TO en un sentido discreto se realiza mediante la discretización del dominio de diseño en elementos finitos. Las densidades de material dentro de estos elementos se tratan como variables del problema. En este caso, la densidad del material de uno indica la presencia de material, mientras que cero indica la ausencia de material. Debido a que la complejidad topológica alcanzable del diseño depende del número de elementos, se prefiere un gran número. Un gran número de elementos finitos aumenta la complejidad topológica alcanzable, pero tiene un costo. En primer lugar, la solución del sistema FEM se vuelve más costosa. En segundo lugar, los algoritmos que pueden manejar un gran número (varios miles de elementos no son infrecuentes) de variables discretas con múltiples restricciones no están disponibles. Además, son imprácticamente sensibles a las variaciones de parámetros. [1] En la literatura se han reportado problemas con hasta 30000 variables. [2]
Resolviendo el problema con variables continuas
Las complejidades mencionadas anteriormente con la resolución de problemas de TO utilizando variables binarias han provocado que la comunidad busque otras opciones. Uno es el modelado de las densidades con variables continuas. Las densidades de material ahora también pueden alcanzar valores entre cero y uno. Hay disponibles algoritmos basados en gradientes que manejan grandes cantidades de variables continuas y múltiples restricciones. Pero las propiedades del material deben modelarse en un entorno continuo. Esto se hace mediante interpolación. Una de las metodologías de interpolación más implementadas es el método de Material Isotrópico Sólido con Penalización (SIMP). [3] [4] Esta interpolación es esencialmente una ley de potencia. Interpola el módulo de Young del material al campo de selección escalar. El valor del parámetro de penalización. generalmente se toma entre . Se ha demostrado que esto confirma la microestructura de los materiales. [5] En el método SIMP se agrega un límite inferior en el módulo de Young,, para asegurarse de que las derivadas de la función objetivo sean distintas de cero cuando la densidad se vuelva cero. Cuanto mayor sea el factor de penalización, más penaliza SIMP al algoritmo en el uso de densidades no binarias. Desafortunadamente, el parámetro de penalización también introduce no convexidades. [6]
Derivados de forma
Derivadas topológicas
Ajuste de nivel
Campo de fase
Optimización estructural evolutiva
Software comercial
Hay varios software comerciales de optimización de topología en el mercado. La mayoría de ellos usa la optimización de topología como una pista de cómo debería verse el diseño óptimo y se requiere la reconstrucción manual de la geometría. Hay algunas soluciones que producen diseños óptimos listos para la fabricación aditiva.
Ejemplos de
Cumplimiento estructural
Una estructura rígida es aquella que tiene el menor desplazamiento posible cuando se le da un cierto conjunto de condiciones de contorno. Una medida global de los desplazamientos es la energía de deformación (también llamada cumplimiento) de la estructura en las condiciones de contorno prescritas. Cuanto menor sea la energía de deformación, mayor será la rigidez de la estructura. Entonces, la función objetivo del problema es minimizar la energía de deformación.
A un nivel amplio, se puede visualizar que cuanto más material, menor es la deflexión ya que habrá más material para resistir las cargas. Entonces, la optimización requiere una restricción opuesta, la restricción de volumen. En realidad, esto es un factor de costo, ya que no querríamos gastar mucho dinero en el material. Para obtener el material total utilizado, se puede hacer una integración del campo de selección sobre el volumen.
Por último, se introducen las ecuaciones diferenciales que gobiernan la elasticidad para obtener el enunciado final del problema.
sujeto a:
Sin embargo, una implementación sencilla en el marco de elementos finitos de un problema de este tipo sigue siendo inviable debido a problemas como:
- Dependencia de la malla: la dependencia de la malla significa que el diseño obtenido en una malla no es el que se obtendrá en otra malla. Las características del diseño se vuelven más intrincadas a medida que la malla se refina.
- Inestabilidades numéricas: selección de una región en forma de tablero de ajedrez.
Algunas técnicas, como el filtrado basado en el procesamiento de imágenes, se utilizan actualmente para paliar algunos de estos problemas.
Problemas de multifísica
Interacción fluido-estructura
La interacción fluido-estructura es un fenómeno fuertemente acoplado y se refiere a la interacción entre un fluido estacionario o en movimiento y una estructura elástica. Muchas aplicaciones de ingeniería y fenómenos naturales están sujetos a la interacción fluido-estructura y, por lo tanto, tener en cuenta esos efectos es fundamental en el diseño de muchas aplicaciones de ingeniería. La optimización de la topología para problemas de interacción de estructuras de fluidos se ha estudiado, por ejemplo, en las referencias [7] [8] [9] y. [10] A continuación se muestran las soluciones de diseño resueltas para diferentes números de Reynolds. Las soluciones de diseño dependen del flujo de fluido e indican que el acoplamiento entre el fluido y la estructura se resuelve en los problemas de diseño.
Conversión de energía termoeléctrica
La termoelectricidad es un problema multifísico que se refiere a la interacción y el acoplamiento entre la energía eléctrica y térmica en materiales semiconductores. La conversión de energía termoeléctrica se puede describir mediante dos efectos identificados por separado: el efecto Seebeck y el efecto Peltier. El efecto Seebeck se refiere a la conversión de energía térmica en energía eléctrica y el efecto Peltier se refiere a la conversión de energía eléctrica en energía térmica. [11] Al distribuir espacialmente dos materiales termoeléctricos en un espacio de diseño bidimensional con una metodología de optimización de topología, [12] es posible exceder el rendimiento de los materiales termoeléctricos constitutivos para enfriadores termoeléctricos y generadores termoeléctricos . [13]
La forma 3F3D sigue la fuerza de la impresión 3D
La proliferación actual de la tecnología de impresoras 3D ha permitido a los diseñadores e ingenieros utilizar técnicas de optimización de topología al diseñar nuevos productos. La optimización de la topología combinada con la impresión 3D puede dar como resultado un aligeramiento, un rendimiento estructural mejorado y un ciclo de diseño a fabricación más corto. Dado que los diseños, aunque eficientes, podrían no ser realizables con técnicas de fabricación más tradicionales. [ cita requerida ]
Referencias
- ^ Sigmund, Ole; Maute, Kurt (2013). "Enfoques de optimización de topología". Optimización estructural y multidisciplinar . 48 (6): 1031–1055. doi : 10.1007 / s00158-013-0978-6 . S2CID 124426387 .
- ^ Beckers, M. (1999). "Optimización de topología mediante un método dual con variables discretas" (PDF) . Optimización estructural . 17 : 14-24. doi : 10.1007 / BF01197709 . S2CID 122845784 .
- ^ Bendsøe, MP (1989). "Diseño de formas óptimas como problema de distribución de materiales". Optimización estructural . 1 (4): 193–202. doi : 10.1007 / BF01650949 . S2CID 18253872 .
- ^ [1] , una monografía del tema.
- ^ Bendsøe, diputado; Sigmund, O. (1999). "Esquemas de interpolación de materiales en optimización topológica" (PDF) . Archivo de Mecánica Aplicada . 69 (9-10): 635-654. Código bibliográfico : 1999AAM .... 69..635B . doi : 10.1007 / s004190050248 . S2CID 11368603 .
- ↑ van Dijk, NP. Langelaar, M. van Keulen, F. Estudio crítico de la parametrización del diseño en la optimización topológica; La influencia de la parametrización del diseño en los mínimos locales . . 2da Conferencia Internacional sobre Optimización de la Ingeniería, 2010
- ^ Yoon, Gil Ho (2010). "Optimización de topología para problemas de interacción fluido-estructura estacionaria utilizando una nueva formulación monolítica". Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería . 82 (5): 591–616. Código bibliográfico : 2010IJNME..82..591Y . doi : 10.1002 / nme.2777 .
- ^ Picelli, R .; Vicente, WM; Pavanello, R. (2017). "Optimización de la topología evolutiva para la minimización del cumplimiento estructural considerando cargas FSI dependientes del diseño". Elementos finitos en análisis y diseño . 135 : 44–55. doi : 10.1016 / j.finel.2017.07.005 .
- ^ Jenkins, Nicholas; Maute, Kurt (2016). "Un enfoque de límite inmerso para la optimización de la forma y la topología de los problemas de interacción estacionaria fluido-estructura". Optimización estructural y multidisciplinar . 54 (5): 1191–1208. doi : 10.1007 / s00158-016-1467-5 . S2CID 124632210 .
- ^ a b Lundgaard, Christian; Alexandersen, Joe; Zhou, Mingdong; Andreasen, Casper Schousboe; Sigmund, Ole (2018). "Revisando la optimización de topología basada en densidad para problemas de interacción fluido-estructura" (PDF) . Optimización estructural y multidisciplinar . 58 (3): 969–995. doi : 10.1007 / s00158-018-1940-4 . S2CID 125798826 .
- ^ Rowe, David Michael. Manual de termoeléctricas: macro a nano . Prensa CRC, 2005.
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- ^ Lundgaard, Christian; Sigmund, Ole; Bjørk, Rasmus (2018). "Optimización de topología de generadores termoeléctricos segmentados" . Revista de Materiales Electrónicos . 47 (12): 6959–6971. Bibcode : 2018JEMat..47.6959L . doi : 10.1007 / s11664-018-6606-x . S2CID 105113187 .
Otras lecturas
- Desarrollos recientes en la implementación comercial de optimización topológica ; Uwe Schramm, Ming Zhou; Simposio de IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales: estado y perspectivas, 239–248; 2006 Springer.
- Implementación industrial y aplicaciones de optimización topológica y necesidades futuras ; Claus BW Pedersen; Peter Allinger; Simposio de IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales, 229-238; 2006 Springer.
- Optimización de topología de continuos 2D para un cumplimiento mínimo utilizando computación paralela Arash Mahdavi; Balaji Raghavan; Mary Frecker; Revista Int de Optimización Estructural y Multidisciplinaria, Volumen 32, 121-132, 2006 Springer
- Conceptos modernos de optimización estructural aplicados a la optimización topológica Juan Pablo Leiva; Brian C. Watson e Iku Kosaka; 40ª Conferencia sobre estructuras, dinámica estructural y materiales de AIAA / ASME / ASCE / AHS / ASC. St. Louis, MO, págs. 1589–1596, 1999
enlaces externos
- Animaciones de optimización de topología