Topos

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En matemáticas , un topos ( Reino Unido : / t ɒ p ɒ s / , Estados Unidos : / t oʊ p oʊ s , t oʊ p ɒ s / ; plural topoi / t oʊ p ɔɪ / o / t ɒ p ɔɪ / , o topos ) es una categoríaque se comporta como la categoría de haces de conjuntos en un espacio topológico (o más generalmente: en un sitio ). Topoi se comporta de manera muy similar a la categoría de conjuntos y posee una noción de localización; son una generalización directa de la topología de conjuntos de puntos . ^[1] Los topoi de Grothendieck encuentran aplicaciones en geometría algebraica ; los topoi elementales más generales se utilizan en lógica .

Grothendieck topoi (topoi en geometría)

Desde la introducción de las gavillas en las matemáticas en la década de 1940, un tema principal ha sido estudiar un espacio mediante el estudio de las gavillas en un espacio. Esta idea fue expuesta por Alexander Grothendieck al introducir la noción de "topos". La principal utilidad de esta noción radica en la abundancia de situaciones en matemáticas donde las heurísticas topológicas son muy efectivas, pero falta un espacio topológico honesto; a veces es posible encontrar un topos que formalice la heurística. Un ejemplo importante de esta idea programática es el étale topos de un esquema. Otro ejemplo de la capacidad que Grothendieck propone para encarnar la “esencia” de diferentes situaciones matemáticas viene dada por su uso como puentes para conectar teorías que, aunque escritas en lenguajes posiblemente muy diferentes, comparten un contenido matemático común. ^{[2] [3]}

Definiciones equivalentes

Un topos de Grothendieck es una categoría C que satisface cualquiera de las siguientes tres propiedades. (Un teorema de Jean Giraud establece que las propiedades siguientes son todas equivalentes).

• Hay una pequeña categoría D y una inclusión C ↪ Presh ( D ) que admite un adjunto izquierdo que conserva el límite finito .
• C es la categoría de poleas en un sitio de Grothendieck .
• C satisface los axiomas de Giraud, a continuación.

Aquí Presh ( D ) denota la categoría de functores contravariantes de D a la categoría de conjuntos; un funtor contravariante de este tipo se denomina con frecuencia pregajo .

Axiomas de Giraud

Los axiomas de Giraud para una categoría C son:

• C tiene un pequeño conjunto de generadores y admite todos los colimits pequeños . Además, los productos de fibra se distribuyen entre los coproductos. Es decir, dado un conjunto I , un mapeo de coproducto indexado con I a A y un morfismo A ' → A , el retroceso es un coproducto de los retrocesos indexado con I :

${\displaystyle \left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')}$.

• Las sumas en C son inconexas. En otras palabras, el producto de fibra de X y Y sobre su suma es el objeto inicial en C .
• Todas las relaciones de equivalencia en C son efectivas .

El último axioma necesita la mayor explicación. Si X es un objeto de C , una "relación de equivalencia" R sobre X es un mapa R → X × X en C tal que para cualquier objeto Y en C , el mapa inducido Hom ( Y , R ) → Hom ( Y , X ) × Hom ( Y , X ) da una relación de equivalencia ordinaria en el conjunto Hom ( Y , X ). Dado que C tiene colímites podemos formar el coecualizadorde los dos mapas R → X ; llamar a este X / R . La relación de equivalencia es "efectiva" si el mapa canónico

${\displaystyle R\to X\times _{X/R}X\,\!}$

es un isomorfismo.

Ejemplos

El teorema de Giraud ya da "gavillas en sitios" como una lista completa de ejemplos. Sin embargo, tenga en cuenta que los sitios no equivalentes a menudo dan lugar a topoi equivalentes. Como se indicó en la introducción, las gavillas en los espacios topológicos ordinarios motivan muchas de las definiciones básicas y los resultados de la teoría topos.

La categoría de conjuntos es un caso especial importante: juega el papel de un punto en la teoría del topos. De hecho, un conjunto puede considerarse como una gavilla en un punto.

Los ejemplos más exóticos, y la razón de ser de la teoría topos, provienen de la geometría algebraica. A un esquema e incluso a una pila se le puede asociar un étale topos, un fppf topos, un Nisnevich topos ... Otro ejemplo importante de un topos es el del sitio cristalino .

Contraejemplos

La teoría de Topos es, en cierto sentido, una generalización de la topología clásica de conjuntos de puntos. Por lo tanto, uno debe esperar ver casos nuevos y antiguos de comportamiento patológico . Por ejemplo, hay un ejemplo de Pierre Deligne de un topos no trivial que no tiene puntos (ver más abajo la definición de puntos de un topos).

Morfismos geométricos

Si X e Y son topoi, un morfismo geométrico u  :  X → Y es un par de functores adjuntos ( u ^∗ , u _∗ ) (donde u ^∗  : Y → X se deja adjunto a u _∗  : X → Y ) tal que u ^∗ conserva límites finitos. Tenga en cuenta que u ^∗ automáticamente conserva colimits en virtud de tener un adjunto derecho.

Según el teorema del functor adjunto de Freyd , dar un morfismo geométrico X → Y es dar un functor u ^∗ :  Y → X que conserva los límites finitos y todos los colimits pequeños. Así, los morfismos geométricos entre topoi pueden verse como análogos de mapas de lugares .

Si X e Y son espacios topológicos y u es un mapa continuo entre ellos, entonces las operaciones de retroceso y empuje hacia adelante en las poleas producen un morfismo geométrico entre los topoi asociados.

Puntos de topoi

Un punto de un topos X se define como un morfismo geométrico de los topos de conjuntos a X .

Si X es un espacio ordinario yx es un punto de X , entonces el funtor que lleva una gavilla F a su tallo F _x tiene un adjoint derecho (el funtor "skyscraper gavilla"), por lo que un punto ordinario de X también determina un topos -punto teórico. Estos pueden ser construidos como la retirada-pushforward lo largo de la aplicación continua x :  1 → X .

Más precisamente, esos son los puntos globales . No son adecuados en sí mismos para mostrar el aspecto espacial de un topos, porque un topos no trivial puede no tener ninguno. Generalizadas puntos son morfismos geométricas de un topos Y (la etapa de definición ) para X . Hay suficientes de estos para mostrar el aspecto de espacio. Por ejemplo, si X es el topos clasificador S [ T ] para una teoría geométrica T , entonces la propiedad universal dice que sus puntos son los modelos de T (en cualquier etapa de la definición Y ).

Morfismos geométricos esenciales

¡Un morfismo geométrico ( u ^∗ , u _∗ ) es esencial si u ^∗ tiene un adjunto u más a la izquierda _! , o de manera equivalente (por el teorema del functor adjunto) si u ^∗ conserva no solo los límites finitos sino todos los pequeños.

Topoi anillado

Artículo principal: Topos anillados

A topos anilladas es un par (X, R) , donde X es un topos y R es un conmutativa objeto anillo en X . La mayoría de las construcciones de espacios anillados pasan por topoi anillados. La categoría de objetos de módulo R en X es una categoría abeliana con suficientes inyecciones. Una categoría abeliana más útil es la subcategoría de módulos R cuasi coherentes : estos son módulos R que admiten una presentación.

Otra clase importante de topoi anillados, además de los espacios anillados, son los étale topoi de las pilas Deligne-Mumford .

Teoría de la homotopía de los topoi

Michael Artin y Barry Mazur asociaron al sitio subyacente a un topos un conjunto pro-simplicial (hasta homotopía ). ^[4] (Es mejor considerarlo en Ho (pro-SS); ver Edwards) Usando este sistema inverso de conjuntos simpliciales, a veces se puede asociar a un invariante de homotopía en la topología clásica un sistema inverso de invariantes en la teoría topos. El estudio del conjunto pro-simplicial asociado al étale topos de un esquema se denomina teoría de la homotopía étale . ^[5] En buenos casos (si el esquema es noetheriano y geométricamente unibranch), este conjunto pro-simplicial es pro-finito .

Topoi elemental (topoi en lógica)

Introducción

Una base axiomática tradicional de las matemáticas es la teoría de conjuntos , en la que todos los objetos matemáticos están finalmente representados por conjuntos (incluidas las funciones , que se asignan entre conjuntos). Un trabajo más reciente en teoría de categorías permite generalizar este fundamento utilizando topoi; cada topos define completamente su propio marco matemático. La categoría de conjuntos forma un topos familiar, y trabajar dentro de este topos es equivalente a usar las matemáticas tradicionales de la teoría de conjuntos. Pero, en cambio, se podría optar por trabajar con muchos topoi alternativos. Una formulación estándar del axioma de elección tiene sentido en cualquier topos, y hay topoi en los que no es válido. Los constructivistas estarán interesados ​​en trabajar en un topos sin elley del medio excluido . Si la simetría bajo un determinado grupo G es de importancia, uno puede usar los topos que consisten en todos los G conjuntos- .

También es posible codificar una teoría algebraica , como la teoría de grupos, como un topos, en forma de un topos clasificador . Los modelos individuales de la teoría, es decir, los grupos en nuestro ejemplo, corresponden entonces a los functores del topos de codificación a la categoría de conjuntos que respetan la estructura del topos.

Definición formal

Cuando se utiliza para el trabajo fundamental, un topos se definirá axiomáticamente; La teoría de conjuntos se trata entonces como un caso especial de teoría topos. Partiendo de la teoría de categorías, existen múltiples definiciones equivalentes de un topos. Lo siguiente tiene la virtud de ser conciso:

Un topos es una categoría que tiene las siguientes dos propiedades:

• Existen todos los límites asumidos sobre categorías de índices finitos.
• Cada objeto tiene un objeto de poder. Esto juega el papel de poder en la teoría de conjuntos.

Formalmente, un objeto de poder de un objeto es un par con , que clasifica relaciones, en el siguiente sentido. En primer lugar, observe que para cada objeto , un morfismo ("una familia de subconjuntos") induce un subobjeto . Formalmente, esto se define, tirando hacia atrás a lo largo . La propiedad universal de un objeto de poder es que toda relación surge de esta manera, dando una correspondencia biyectiva entre relaciones y morfismos .${\displaystyle X}$${\displaystyle (PX,\ni _{X})}$${\displaystyle {\ni _{X}}\subseteq PX\times X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle r\colon I\to PX}$${\displaystyle \{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X}$${\displaystyle \ni _{X}}$${\displaystyle r\times X:I\times X\to PX\times X}$${\displaystyle R\subseteq I\times X}$${\displaystyle r\colon I\to PX}$

De los límites finitos y los objetos de poder se puede derivar que

• Existen todos los colimits asumidos sobre categorías de índices finitos.
• La categoría tiene un clasificador de subobjetos .
• La categoría es cartesiana cerrada .

En algunas aplicaciones, la función del clasificador de subobjetos es fundamental, mientras que los objetos de poder no lo son. Así, algunas definiciones invierten los roles de lo que se define y lo que se deriva.

Functores lógicos

Un funtor lógico es un funtor entre topos que conserva límites finitos y objetos de poder. Los functores lógicos conservan las estructuras que tienen los topos. En particular, conservan colimits finitos, clasificadores de subobjetos y objetos exponenciales . ^[6]

Explicación

Un topos como se define arriba puede entenderse como una categoría cerrada cartesiana para la cual la noción de subobjeto de un objeto tiene una definición elemental o de primer orden. Esta noción, como una abstracción categórica natural de las nociones de subconjunto de un conjunto, subgrupo de un grupo y, más generalmente, subálgebra de cualquier estructura algebraica , es anterior a la noción de topos. Es definible en cualquier categoría, no sólo en topoi, en lenguaje de segundo orden , es decir, en términos de clases de morfismos en lugar de morfismos individuales, como sigue. Dados dos monics m , n de respectivamente Y y Z a X, Decimos que m ≤ n cuando existe un morfismo p : Y → Z para los que np = m , induciendo una orden previo en monics a X . Cuando m ≤ n y n ≤ m decimos que m y n son equivalentes. Los subobjetos de X son las clases de equivalencia resultantes de los monics.

En un topos, "subobjeto" se convierte, al menos implícitamente, en una noción de primer orden, como sigue.

Como se señaló anteriormente, un topos es una categoría C que tiene todos los límites finitos y por lo tanto en particular el límite de vacío u objeto final 1. Es entonces natural para morfismos tratar de la forma x : 1 → X como elementos x ∈ X . Los morfismos f : X → Y corresponden así a funciones que mapean cada elemento x ∈ X al elemento fx ∈ Y , con aplicación realizada por composición.

Entonces se podría pensar en definir un subobjeto de X como una clase de equivalencia de monics m : X ′ → X que tiene la misma imagen { mx | x ∈ X ′ }. El problema es que dos o más morfismos pueden corresponder a la misma función, es decir, no podemos asumir que C es concreto en el sentido de que el funtor C (1, -): C → Set es fiel. Por ejemplo, la categoría Grph de gráficos y sus homomorfismos asociados.es un topos cuyo objeto final 1 es el gráfico con un vértice y un borde (un auto-bucle), pero no es concreto porque los elementos 1 → G de un gráfico G corresponden solo a los auto-bucles y no a los otros bordes, ni los vértices sin bucles propios. Mientras que la definición de segundo orden hace que G y el subgrafo de todos los auto-bucles de G (con sus vértices) sean distintos subobjetos de G (a menos que cada borde sea, y cada vértice tiene, un auto-bucle), este basado en imágenes lo hace no. Esto se puede abordar para el ejemplo de gráfico y ejemplos relacionados a través del Lema de Yoneda como se describe en los Ejemplos adicionales.sección siguiente, pero esto deja de ser de primer orden. Topoi proporciona una solución más abstracta, general y de primer orden.

Figura 1. m como un retroceso del subobjeto genérico t a lo largo de f .

Como se señaló anteriormente, un topos C tiene un subobjeto clasificador Ω, es decir, un objeto de C con un elemento t ∈ Ω, el subobjeto genérico de C , que tiene la propiedad de que todo mónico m : X ′ → X surge como un retroceso del genérico subobjeto a lo largo de un morfismo único f : X → Ω, según la Figura 1. Ahora, el retroceso de un mónico es un mónico, y todos los elementos, incluido t, son mónicos, ya que solo hay un morfismo a 1 de cualquier objeto dado, de ahí el retroceso de t a lo largo de f : X→ Ω es un mónico. Por lo tanto, los monics a X están en biyección con los retrocesos de t a lo largo de los morfismos de X a Ω. Los últimos morfismos dividen los monics en clases de equivalencia, cada una determinada por un morfismo f : X → Ω, el morfismo característico de esa clase, que tomamos como el subobjeto de X caracterizado o nombrado por f .

Todo esto se aplica a cualquier topos, sea de hormigón o no. En el caso concreto, es decir C (1, -) fiel, por ejemplo la categoría de conjuntos, la situación se reduce al comportamiento familiar de funciones. Aquí las mónicas m : X ′ → X son exactamente las inyecciones (funciones uno-uno) de X ′ a X , y aquellas con una imagen dada { mx | x ∈ X ′ } constituyen el subobjeto de X correspondiente al morfismo f : X → Ω para el cual f ⁻¹ ( t) es esa imagen. Las mónicas de un subobjeto tendrán, en general, muchos dominios, pero todos estarán en inyección entre sí.

Para resumir, esta noción de primer orden de clasificador de subobjetos define implícitamente para un topos la misma relación de equivalencia entre monics y X como había sido previamente definida explícitamente por la noción de segundo orden de subobjeto para cualquier categoría. La noción de relación de equivalencia en una clase de morfismos es en sí misma intrínsecamente de segundo orden, que la definición de topos claramente elude al definir explícitamente solo la noción de clasificador de subobjetos Ω, dejando la noción de subobjeto de X como una consecuencia implícita caracterizada (y por lo tanto nombrable) por su morfismo asociado f : X → Ω.

Más ejemplos

Cada topos de Grothendieck es un topos elemental, pero lo contrario no es cierto (ya que cada topos de Grothendieck es cocompleto, lo que no se requiere de un topos elemental).

Las categorías de conjuntos finitos, de conjuntos G finitos (acciones de un grupo G sobre un conjunto finito) y de gráficos finitos son topoi elementales que no son topoi de Grothendieck.

Si C es una categoría pequeña, entonces la categoría de functores Conjunto ^C (que consta de todos los functores covariantes de C a conjuntos, con transformaciones naturales como morfismos) es un topos. Por ejemplo, la categoría Grph de gráficos del tipo que permite múltiples aristas dirigidas entre dos vértices es un topos. Un gráfico consta de dos conjuntos, un conjunto de aristas y un conjunto de vértices, y dos funciones s, t entre esos conjuntos, asignando a cada arista e su origen s ( e ) y destino t ( e ). Grph es por tanto equivalentea la categoría de functor Conjunto ^C , donde C es la categoría con dos objetos E y V y dos morfismos s, t : E → V dando respectivamente la fuente y el objetivo de cada borde.

El lema de Yoneda afirma que C ^{op se} inserta en el conjunto ^C como una subcategoría completa. En el ejemplo de gráfico, la incrustación representa C ^op como la subcategoría del conjunto ^C cuyos dos objetos son V ' como el gráfico de un vértice sin bordes y E' como el gráfico de dos vértices y un borde (ambos como functores), y cuyo dos morfismos de no identidad son los dos homomorfismos de gráfico de V ' a E' (ambos como transformaciones naturales). Las transformaciones naturales de V ' a un grafo arbitrario (functor) G constituyen los vértices de G mientras que las deE ' a G constituyen sus bordes. Aunque el conjunto ^C , que podemos identificar con Grph , no se concreta ni con V ' ni con E' , el functor U : Grph → Set ² envía el objeto G al par de conjuntos ( Grph ( V ' , G ), Grph ( E ' , G )) y morfismo h : G → H al par de funciones ( Grph ( V' ,h ), Grph ( E ' , h )) es fiel. Es decir, un morfismo de grafos puede entenderse como un par de funciones, una mapeando los vértices y la otra los bordes, con aplicación todavía realizada como composición pero ahora con múltiples tipos de elementos generalizados . Esto muestra que el concepto tradicional de una categoría concreta como aquella cuyos objetos tienen un conjunto subyacente se puede generalizar para atender una gama más amplia de topoi al permitir que un objeto tenga múltiples conjuntos subyacentes, es decir, que tenga múltiples clasificaciones.

Ver también

• Historia de la teoría del topos
• Hipótesis de homotopía
• Teoría de tipos intuicionistas
• ∞-topos
• Quasitopos

Notas

1. Illusie 2004
2. Caramello, Olivia (2016). Grothendieck plantea como "puentes" unificadores en Matemáticas (PDF) (HDR). Universidad Paris Diderot (Paris 7).
3. Caramello, Olivia (2017). Teorías, Sitios, Topos: Relacionar y estudiar teorías matemáticas a través de puentes topos-teóricos . Prensa de la Universidad de Oxford. doi : 10.1093 / oso / 9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914.
4. Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969). Homotopía de étale . Apuntes de clase en matemáticas. 100 . Springer-Verlag . doi : 10.1007 / BFb0080957 . ISBN 978-3-540-36142-8.
5. Friedlander, Eric M. (1982), Étale homotopía de esquemas simpliciales , Anales de estudios matemáticos, 104 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08317-9
6. McLarty 1992 , p. 159

Referencias

Algunos papeles suaves

• Edwards, DA; Hastings, HM (verano de 1980). "Teoría de Čech: su pasado, presente y futuro" . Revista de matemáticas de las Montañas Rocosas . 10 (3): 429–468. doi : 10.1216 / RMJ-1980-10-3-429 . JSTOR  44236540 .
• Báez, Juan . "Teoría Topos en pocas palabras" . Una suave introducción.
• Steven Vickers : " Toposes pour les nuls " y " Toposes pour les vraiment nuls " . Introducciones elementales e incluso más elementales a los topos como espacios generalizados.
• Illusie, Luc (2004). "¿Qué es ... un Topos?" (PDF) . Avisos del AMS . 51 (9): 160–1.

Los siguientes textos son introducciones de ritmo fácil a los tópicos y los conceptos básicos de la teoría de categorías. Deberían ser adecuados para quienes conocen poca lógica matemática y teoría de conjuntos, incluso para los no matemáticos.

• Lawvere, F. William ; Schanuel, Stephen H. (1997). Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-47817-5.Una "introducción a las categorías para informáticos, lógicos, físicos, lingüistas, etc." (citado del texto de la portada).
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Conjuntos para matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-01060-3. Introduce los fundamentos de las matemáticas desde una perspectiva categórica.

Trabajo fundamental de Grothendieck sobre topos:

• Grothendieck, A .; Verdier, JL (1972). Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas . Apuntes de clases de matemáticas. 269 . Saltador. doi : 10.1007 / BFb0081551 . ISBN 978-3-540-37549-4. Tome 2 270 doi : 10.1007 / BFb0061319 ISBN 978-3-540-37987-4 

Las siguientes monografías incluyen una introducción a parte o toda la teoría topos, pero no están dirigidas principalmente a estudiantes principiantes. Enumerados en orden (percibido) de dificultad creciente.

• McLarty, Colin (1992). Categorías elementales, Topos elementales . Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-158949-2.Una buena introducción a los conceptos básicos de la teoría de categorías, la teoría de topos y la lógica de topos. Asume muy pocos requisitos previos.
• Goldblatt, Robert (2013) [1984]. Topoi: el análisis categórico de la lógica . Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-31796-0. Un buen comienzo. Disponible en línea en la página de inicio de Robert Goldblatt.
• Bell, John L. (2001). "El desarrollo de la lógica categórica" . En Gabbay, DM; Guenthner, Franz (eds.). Manual de lógica filosófica . 12 (2ª ed.). Saltador. págs. 279–. ISBN 978-1-4020-3091-8.Versión disponible en línea en la página de inicio de John Bell.
• MacLane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de Topos . Saltador. ISBN 978-1-4612-0927-0. Más completo y más difícil de leer.
• Barr, Michael ; Wells, Charles (2013) [1985]. Topos, Triples y Teorías . Saltador. ISBN 978-1-4899-0023-4.(Versión en línea). Más conciso que Sheaves en geometría y lógica , pero difícil para los principiantes.

Obras de referencia para expertos, menos adecuadas para la primera introducción.

• Edwards, DA; Hastings, HM (1976). Teorías de homotopía de Čech y Steenrod con aplicaciones a la topología geométrica . Notas de clase en matemáticas. 542 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0081083 . ISBN 978-3-540-38103-7.
• Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica: Volumen 3, Teoría de la gavilla . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. 52 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-44180-3.La tercera parte de "La notable obra maestra de Borceux", como la ha etiquetado Johnstone. Sigue siendo adecuado como introducción, aunque a los principiantes puede resultarles difícil reconocer los resultados más relevantes entre la enorme cantidad de material proporcionado.
• Johnstone, Peter T. (2014) [1977]. Teoría Topos . Mensajero. ISBN 978-0-486-49336-7.Durante mucho tiempo, el compendio estándar sobre teoría topos. Sin embargo, incluso Johnstone describe este trabajo como "demasiado difícil de leer, y no para los pusilánimes".
• Johnstone, Peter T. (2002). Bocetos de un elefante: un compendio de teoría de Topos . 2 . Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-851598-2. A principios de 2010, dos de los tres volúmenes programados de este abrumador compendio estaban disponibles.
• Caramello, Olivia (2017). Teorías, Sitios, Topos: Relacionar y estudiar teorías matemáticas a través de puentes topos-teóricos . Prensa de la Universidad de Oxford. doi : 10.1093 / oso / 9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914.

Libros que se centran en aplicaciones especiales de la teoría topos.

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter; Rota, GC, eds. (2004). Fundamentos categóricos: temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de la gavilla . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. 97 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-83414-8. Incluye muchas aplicaciones especiales interesantes.