Los grupos abelianos generados infinitamente tienen una estructura muy compleja y son mucho menos conocidos que los grupos abelianos generados finitamente . Incluso los grupos abelianos sin torsión son mucho más variados en sus características que los espacios vectoriales . Los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son mucho más manejables que los de rango superior y existe una clasificación satisfactoria, aunque hay un número incontable de clases de isomorfismos.
Un grupo abeliano libre de torsión de rango 1 es un grupo abeliano tal que cada elemento excepto la identidad tiene un orden infinito, y para dos elementos a y b que no sean de identidad, existe una relación no trivial entre ellos sobre los números enteros:
Para cualquier elemento a sin identidad en dicho grupo y cualquier número primo p puede haber o no otro elemento a p n tal que:
Si tal elemento existe para cada n , decimos que el tipo de raíz p de a es infinito ; de lo contrario, si n es el entero no negativo más grande que existe tal elemento, decimos que el tipo de raíz p de a es n .
Si b es otro elemento no identitario del grupo, entonces existe una relación no trivial entre a y b :
Como consecuencia de esto, el tipo de raíz de b difiere del tipo de raíz de a solo por una diferencia finita en un número finito de índices (correspondientes a los números primos que dividen a n oa m ).