En matemáticas , el rango , rango de Prüfer o rango libre de torsión de un grupo abeliano A es la cardinalidad de un subconjunto máximo linealmente independiente . [1] El rango de A determina el tamaño de la más grande grupo abeliano libre contenida en A . Si A es libre de torsión entonces se incrusta en un espacio vectorial sobre los números racionales de rango dimensión A . Para grupos abelianos finamente generados, el rango es un invariante fuerte y cada grupo está determinado hasta el isomorfismo por su subgrupo de rango y torsión . Los grupos abelianos sin torsión de rango 1 se han clasificado completamente. Sin embargo, la teoría de los grupos abelianos de rango superior es más complicada.
El término rango tiene un significado diferente en el contexto de los grupos abelianos elementales .
Definición
Un subconjunto { a α } de un grupo abeliano es linealmente independiente (sobre Z ) si la única combinación lineal de estos elementos que es igual a cero es trivial: si
donde todos pero un número finito de coeficientes n α son cero (de modo que la suma es, en efecto, finito), entonces todos los sumandos son 0. Cualquier dos maximal linealmente conjuntos independientes en A tienen la misma cardinalidad , que se llama el rango de A .
El rango de un grupo abeliano es análogo a la dimensión de un espacio vectorial . La principal diferencia con el caso del espacio vectorial es la presencia de torsión . Un elemento de un grupo abeliano A se clasifica como torsión si su orden es finito. El conjunto de todos los elementos de torsión es un subgrupo, llamado subgrupo de torsión y denotado T ( A ). Un grupo se denomina libre de torsión si no tiene elementos de torsión no triviales. El factor-grupo A / T ( A ) es el único máxima cociente libre de torsión de A y sus coincide rango con el rango de A .
La noción de rango con propiedades análogas se puede definir para módulos sobre cualquier dominio integral , el caso de grupos abelianos correspondientes a los módulos sobre Z . Para ello, consulte el módulo generado de forma finita # Rango genérico .
Propiedades
- El rango de un grupo abeliano A coincide con la dimensión de la Q espacio-vector A ⊗ Q . Si A está libre de torsión, entonces el mapa canónico A → A ⊗ Q es inyectivo y el rango de A es la dimensión mínima del espacio del vector Q que contiene A como un subgrupo abeliano. En particular, cualquier grupo intermedio Z n < A < Q n tiene rango n .
- Los grupos abelianos de rango 0 son exactamente los grupos abelianos periódicos .
- El grupo Q de números racionales tiene rango 1. Los grupos abelianos sin torsión de rango 1 se realizan como subgrupos de Q y hay una clasificación satisfactoria de ellos hasta el isomorfismo. Por el contrario, no existe una clasificación satisfactoria de los grupos abelianos sin torsión de rango 2. [2]
- El rango es aditivo sobre secuencias breves y exactas : si
- es un corto secuencia exacta de los grupos abelianos entonces rk B = rk A + rk C . Esto se sigue de la planitud de Q y el hecho correspondiente para los espacios vectoriales.
- El rango es aditivo sobre sumas directas arbitrarias :
- donde la suma en el lado derecho usa aritmética cardinal .
Grupos de rango superior
Los grupos abelianos de rango superior a 1 son fuentes de ejemplos interesantes. Por ejemplo, para cada cardinal d existen grupos abelianos sin torsión de rango d que son indecomponibles , es decir, no pueden expresarse como una suma directa de un par de sus subgrupos propios. Estos ejemplos demuestran que un grupo abeliano sin torsión de rango superior a 1 no puede construirse simplemente mediante sumas directas de grupos abelianos sin torsión de rango 1, cuya teoría se comprende bien. Además, para cada entero, hay un grupo abeliano libre de torsión de rango que es simultáneamente una suma de dos grupos indecomponibles y una suma de n grupos indecomponibles. [ cita requerida ] Por lo tanto, incluso el número de sumandos indecomponibles de un grupo de rango par mayor o igual que 4 no está bien definido.
Otro resultado sobre la no unicidad de las descomposiciones de suma directa se debe a ALS Corner: enteros dados , existe un grupo abeliano A libre de torsión de rango n tal que para cualquier particiónen k sumandos naturales, el grupo A es la suma directa de k subgrupos de rangos indecomponibles. [ Citación necesaria ] Por lo tanto la secuencia de filas de los sumandos indescomponibles en una cierta suma directa descomposición de un grupo abeliano libre de torsión de rango finito es muy lejos de ser un invariante de A .
Otros ejemplos sorprendentes incluyen-torsión libre de rango 2 grupos A n , m y B n , m tal que A n es isomorfo a B n si y sólo si n es divisible por m .
Para grupos abelianos de rango infinito, hay un ejemplo de un grupo K y un subgrupo G tal que
- K es indescomponible;
- K es generado por G y un solo otro elemento; y
- Cada sumando directo distinto de cero de G es descomponible.
Generalización
La noción de rango se puede generalizar para cualquier módulo M sobre un dominio integral R , como la dimensión sobre R 0 , el campo del cociente , del producto tensorial del módulo con el campo:
Tiene sentido, ya que R 0 es un campo y, por lo tanto, cualquier módulo (o, para ser más específico, espacio vectorial ) sobre él es gratuito.
Es una generalización, ya que cualquier grupo abeliano es un módulo sobre los enteros. Se deduce fácilmente que la dimensión del producto sobre Q es la cardinalidad del subconjunto máximo linealmente independiente, ya que para cualquier elemento de torsión x y cualquier q racional
Ver también
Referencias
- ^ Página 46 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Lectura, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- ^ Thomas, Simon; Schneider, Scott (2012), "Relaciones de equivalencia de Borel contables", en Cummings, James; Schimmerling, Ernest (eds.), Appalachian Set Theory: 2006-2012 , London Mathematical Society Lecture Note Series, 406 , Cambridge University Press, págs. 25-62, CiteSeerX 10.1.1.648.3113 , doi : 10.1017 / CBO9781139208574.003 , ISBN 9781107608504. En la p. 46 , Thomas y Schneider se refieren a "... este fracaso para clasificar incluso a los grupos de rango 2 de una manera satisfactoria ..."