En las matemáticas , un cardenal Q-indescriptible es un cierto tipo de cardenal gran número que es difícil de describir con algún lenguaje de Q . Hay muchos tipos diferentes de cardenales indescriptibles que corresponden a diferentes opciones de idiomas Q . Fueron presentados por Hanf y Scott (1961) .
Un número cardinal κ se llama Πn
m-indescriptible si para cada Π m proposición φ, y se establece A ⊆ V κ con (V κ + n , ∈, A) ⊧ φ existe un α <κ con (V α + n , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ. Aquí uno mira fórmulas con alternancias m-1 de cuantificadores, siendo el cuantificador más externo universal. Σn
m-Los cardenales indescriptibles se definen de manera similar. La idea es que κ no se puede distinguir (mirando desde abajo) de los cardinales más pequeños mediante ninguna fórmula de lógica de n + 1-ésimo orden con alternancias de cuantificadores m-1 incluso con la ventaja de un símbolo de predicado unario adicional (para A). Esto implica que es grande porque significa que debe haber muchos cardenales más pequeños con propiedades similares.
El número cardinal κ se llama totalmente indescriptible si es Πn
m-indescriptible para todos los enteros positivos my n .
Si α es un ordinal, el número cardinal κ se llama α-indescriptible si para cada fórmula φ y cada subconjunto U de V κ
tal que φ ( U ) se cumple en V κ + α hay algo λ <κ tal que φ ( U ∩ V λ ) se mantiene en V λ + α . Si α es infinito, entonces los ordinales α-indescriptibles son totalmente indescriptibles, y si α es finito, son lo mismo que Πα
ω-ordenales indescriptibles. La α-indescriptible implica que α <κ, pero hay una noción alternativa de cardenales astutos que tiene sentido cuando α≥κ: hay λ <κ y β tal que φ ( U ∩ V λ ) se cumple en V λ + β .
Un cardenal es inaccesible si y solo si lo es Π0
n-indescriptible para todos los enteros positivos n , equivalentemente si si es Π0
2-indescriptible, equivalentemente si es Σ1
1-indescriptible.
Si V = L , entonces para un número natural n > 0, un cardinal incontable es Π1
n-indescriptible si es (n + 1) -estacionario. [1]