En matemáticas , un cardenal astuto es un cierto tipo de gran número cardinal introducido por ( Rathjen 1995 ), ampliando la definición de cardenales indescriptibles .
Un número cardinal κ se llama λ-astuto si para cada proposición φ, y establece A ⊆ V κ con (V κ + λ , ∈, A) ⊧ φ existe un α, λ '<κ con (V α + λ' , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ. Se llama astuto si es λ-astuto para cada λ (incluyendo λ> κ).
Esta definición extiende el concepto de indescriptibilidad a niveles transfinitos. Un cardenal astuto de λ también es astuto μ para cualquier ordinal μ <λ. La astucia fue desarrollada por Michael Rathjen como parte de su análisis ordinal de la comprensión de Π 1 2 . Es esencialmente el análogo no recursivo de la propiedad de estabilidad para ordinales admisibles .
De manera más general, un número cardinal κ se llama λ-Π m- astuto si para cada Π m proposición φ, y establece A ⊆ V κ con (V κ + λ , ∈, A) ⊧ φ existe un α, λ '< κ con (V α + λ ' , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ.
Aquí uno mira fórmulas con alternancias m-1 de cuantificadores, siendo el cuantificador más externo universal.
Para n finito , un n -Π m -cardenales astutos es lo mismo que un Π m n -cardenal indescriptible.
Si κ es un cardenal sutil , entonces el conjunto de cardenales astutos de κ está estacionario en κ. Sin embargo, Rathjen no dice cómo los cardenales astutos se comparan con los cardenales desplegables .
λ-astucia es una versión mejorada de λ-indescriptible, como se define en Drake; esta propiedad cardinal difiere en que la subestructura reflejada debe ser (V α + λ , ∈, A ∩ V α ), lo que hace imposible que una κ cardinal sea κ-indescriptible. Además, la propiedad de monotonicidad se pierde: un cardinal λ-indescriptible puede no ser α-indescriptible para algunos ordinales α <λ.
Referencias
- Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardenales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
- Rathjen, Michael (2006). "El arte del análisis ordinal" (PDF) .
- Rathjen, Michael (1995), "Avances recientes en el análisis ordinal: Π 1 2 -CA y sistemas relacionados", The Bulletin of Symbolic Logic , 1 (4): 468–485, doi : 10.2307 / 421132 , ISSN 1079-8986 , Señor 1369172
 | Este artículo relacionado con la teoría de conjuntos es un fragmento . Puedes ayudar a Wikipedia expandiéndolo . |
