Matriz totalmente positiva

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En matemáticas , una matriz totalmente positiva es una matriz cuadrada en la que todos los menores son positivos: es decir, el determinante de toda submatriz cuadrada es un número positivo. ^[1] Una matriz totalmente positiva tiene todas las entradas positivas, por lo que también es una matriz positiva ; y tiene todos los principales menores positivos (y valores propios positivos ). Por lo tanto, una matriz totalmente positiva simétrica también es definida positiva . Una matriz totalmente no negativase define de manera similar, excepto que todos los menores deben ser no negativos (positivos o cero). Algunos autores usan "totalmente positivo" para incluir todas las matrices totalmente no negativas.

Sea una matriz n × n . Considere cualquiera y cualquier submatriz p × p de la forma donde:${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots,n\}}$${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$

para todas las submatrices que se pueden formar de esta manera.${\ estilo de visualización \ mathbf {B}}$

Los temas que históricamente condujeron al desarrollo de la teoría de la positividad total incluyen el estudio de: ^[2]

Por ejemplo, una matriz de Vandermonde cuyos nodos son positivos y crecientes es una matriz totalmente positiva.

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