Regla trapezoidal

En matemáticas , y más específicamente en análisis numérico , la regla trapezoidal (también conocida como regla del trapecio o regla del trapecio ; consulte Trapezoide para obtener más información sobre terminología) es una técnica para aproximar la integral definida .

La regla trapezoidal funciona aproximando la región debajo del gráfico de la función como un trapezoide y calculando su área. Resulta que${\ Displaystyle f (x)}$

La regla trapezoidal puede verse como el resultado obtenido al promediar las sumas de Riemann izquierda y derecha , y algunas veces se define de esta manera. La integral se puede aproximar aún mejor dividiendo el intervalo de integración , aplicando la regla trapezoidal a cada subintervalo y sumando los resultados. En la práctica, esta regla trapezoidal "encadenada" (o "compuesta") es generalmente lo que se entiende por "integración con la regla trapezoidal". Sea una partición de tal que y sea ​​la longitud del -ésimo subintervalo (es decir, ), entonces ${\ Displaystyle \ {x_ {k} \}}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {N-1} <x_ {N} = b}$${\ Displaystyle \ Delta x_ {k}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ Delta x_ {k} = x_ {k} -x_ {k-1}}$

Cuando la partición tiene un espaciado regular, como suele ser el caso, es decir, cuando todas tienen el mismo valor, la fórmula se puede simplificar para la eficiencia del cálculo factorizando :.${\ Displaystyle \ Delta x_ {k}}$${\ Displaystyle \ Delta x,}$${\ Displaystyle \ Delta x}$

La aproximación se vuelve más precisa a medida que aumenta la resolución de la partición (es decir, para mayores , todos disminuyen).${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ Delta x_ {k}}$

Como se analiza a continuación, también es posible colocar límites de error en la precisión del valor de una integral definida estimada usando una regla trapezoidal.

La función f ( x ) (en azul) se aproxima mediante una función lineal (en rojo).

Una animación que muestra cuál es la regla trapezoidal y cómo el error de aproximación disminuye a medida que disminuye el tamaño del paso.

Ilustración de "regla trapezoidal encadenada" utilizada en una partición de espaciado irregular de .${\ Displaystyle [a, b]}$

Una animación que muestra cómo la aproximación de la regla trapezoidal mejora con más tiras para un intervalo con y . A medida que aumenta el número de intervalos , también aumenta la precisión del resultado.${\ Displaystyle a = 2}$${\ Displaystyle b = 8}$${\ Displaystyle N}$