En análisis numérico y computación científica , la regla trapezoidal es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias derivadas de la regla trapezoidal para calcular integrales. La regla trapezoidal es un método implícito de segundo orden, que puede considerarse tanto un método de Runge-Kutta como un método lineal de varios pasos .
Método
Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial
La regla trapezoidal viene dada por la fórmula
dónde es el tamaño del paso. [1]
Este es un método implícito: el valor aparece en ambos lados de la ecuación y, para calcularla, tenemos que resolver una ecuación que normalmente no será lineal. Un posible método para resolver esta ecuación es el método de Newton . Podemos usar el método de Euler para obtener una estimación bastante buena de la solución, que puede usarse como la suposición inicial del método de Newton. [2] Para abreviar, usar solo la suposición del método de Eulers es equivalente a realizar el método de Heun .
Motivación
Integrando la ecuación diferencial de a , encontramos eso
La regla trapezoidal establece que la integral del lado derecho se puede aproximar como
Ahora combine ambas fórmulas y use eso y para obtener la regla trapezoidal para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. [3]
Análisis de errores
Del análisis de error de la regla trapezoidal para cuadratura se deduce que el error de truncamiento local de la regla trapezoidal para resolver ecuaciones diferenciales se puede acotar como:
Por tanto, la regla trapezoidal es un método de segundo orden. [ cita requerida ] Este resultado se puede utilizar para mostrar que el error global es como el tamaño del paso tiende a cero (vea la notación O grande para el significado de esto). [4]
Estabilidad
La región de estabilidad absoluta para la regla trapezoidal es
Esto incluye el semiplano izquierdo, por lo que la regla trapezoidal es estable en A. La segunda barrera de Dahlquist establece que la regla trapezoidal es la más precisa entre los métodos lineales multipaso de A estable. Más precisamente, un método lineal multipaso que es A-estable tiene como máximo el orden dos, y la constante de error de un método lineal multipaso de segundo orden A-estable no puede ser mejor que la constante de error de la regla trapezoidal. [5]
De hecho, la región de estabilidad absoluta para la regla trapezoidal es precisamente el semiplano izquierdo. Esto significa que si se aplica la regla trapezoidal a la ecuación de prueba lineal y ' = λ y , la solución numérica decae a cero si y solo si lo hace la solución exacta.
Notas
- ^ Iserles 1996 , p. 8; Süli y Mayers 2003 , pág. 324
- ^ Süli y Mayers , 2003 , p. 324
- ^ Iserles 1996 , p. 8; Süli y Mayers 2003 , pág. 324
- ^ Iserles 1996 , p. 9; Süli y Mayers 2003 , pág. 325
- ^ Süli y Mayers , 2003 , p. 324
Referencias
- Iserles, Arieh (1996), Un primer curso en el análisis numérico de ecuaciones diferenciales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
- Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0521007941.