Triad es una de las primeras y más simples soluciones al problema de determinación de la actitud de la nave espacial, [1] [2] debido a Harold Black. Black desempeñó un papel clave en el desarrollo de la guía, la navegación y el control del sistema de satélites de tránsito de la Marina de los EE. UU. En los Laboratorios de Física Aplicada de Johns Hopkins. Como es evidente en la literatura, TRIAD representa el estado de la práctica en la determinación de la actitud de las naves espaciales, mucho antes de la llegada del problema de Wahba [3] y sus diversas soluciones óptimas. Dado el conocimiento de dos vectores en las coordenadas de referencia y del cuerpo de un satélite, el algoritmo TRIAD obtiene la matriz de coseno de dirección que relaciona ambos fotogramas. Posteriormente, Markley proporcionó el análisis de covarianza para la solución clásica de Black. [4]
Resumen
Consideramos los vectores de referencia linealmente independientes y . Dejarser las direcciones medidas correspondientes de los vectores unitarios de referencia como se resuelven en un marco de referencia fijo del cuerpo. Entonces están relacionados por las ecuaciones,
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por , dónde es una matriz de rotación (a veces también conocida como matriz ortogonal adecuada , es decir,). transforma los vectores en el marco fijo del cuerpo en el marco de los vectores de referencia. Entre otras propiedades, las matrices rotacionales preservan la longitud del vector sobre el que operan. Tenga en cuenta que la matriz de coseno de dirección también transforma el vector de producto cruzado, escrito como,
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Triad propone una estimación de la matriz de coseno de dirección como una solución a las ecuaciones del sistema lineal dadas por
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dónde se han utilizado para separar diferentes vectores de columna.
La solución presentada anteriormente funciona bien en el caso sin ruido. Sin embargo, en la práctica,son ruidosos y la condición de ortogonalidad de la matriz de actitud (o la matriz de coseno de dirección) no se conserva mediante el procedimiento anterior. Triad incorpora el siguiente procedimiento elegante para solucionar este problema. Con este fin, definimos vectores unitarios
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y
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para ser utilizado en lugar de las dos primeras columnas de ( 3 ). Su producto cruzado se utiliza como la tercera columna en el sistema lineal de ecuaciones obteniendo una matriz ortogonal adecuada para la actitud de la nave espacial dada por
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Si bien las normalizaciones de las ecuaciones ( 4 ) - ( 7 ) no son necesarias, se han llevado a cabo para lograr una ventaja computacional al resolver el sistema lineal de ecuaciones en ( 8 ). Por lo tanto, una estimación de la actitud de la nave espacial viene dada por la matriz ortogonal adecuada como
( 9 )
Tenga en cuenta que la eficiencia computacional se ha logrado en este procedimiento al reemplazar la matriz inversa con una transpuesta. Esto es posible porque las matrices involucradas en el cálculo de la actitud están compuestas cada una de una tríada de vectores de base ortonormales . "TRIAD" deriva su nombre de esta observación.
Matriz de actitudes de la tríada y habilidad de las mediciones
Es importante señalar que el método Triad siempre produce una matriz ortogonal adecuada independientemente de la desviación de los vectores de referencia y de cuerpo empleados en el proceso de estimación. Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Reescribamos la ecuación. ( 8 ) en forma de matriz dada por
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dónde y Tenga en cuenta que si las columnas de forman una tríada zurda, luego las columnas de también son zurdos debido a la correspondencia uno a uno entre los vectores. Esto se debe al simple hecho de que, en la geometría euclidiana, el ángulo entre dos vectores cualesquiera permanece invariante para las transformaciones de coordenadas. Por tanto, el determinante es o dependiendo de si sus columnas son diestras o zurdas respectivamente (de manera similar, ). Tomando determinante en ambos lados de la relación en la Ec. ( 10 ), concluimos que
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Esto es bastante útil en aplicaciones prácticas, ya que siempre se garantiza al analista una matriz ortogonal adecuada independientemente de la naturaleza de la referencia y las cantidades de vector medidas.
Aplicaciones
Triad se utilizó como una técnica de determinación de actitud para procesar los datos de telemetría del sistema de satélites Transit (utilizado por la Marina de los EE. UU. Para la navegación). Los principios del sistema de tránsito dieron lugar a la constelación de satélites del sistema de posicionamiento global. En un problema de aplicación, los vectores de referencia suelen ser direcciones conocidas (por ejemplo, estrellas, campo magnético de la Tierra, vector de gravedad, etc.). Los vectores fijos del cuerpo son las direcciones medidas observadas por un sensor integrado (p. Ej., Rastreador de estrellas, magnetómetro, etc.). Con los avances en microelectrónica, los algoritmos de determinación de actitud como Triad han encontrado su lugar en una variedad de dispositivos (por ejemplo, teléfonos inteligentes, automóviles, tabletas, UAV, etc.) con un amplio impacto en la sociedad moderna.
Ver también
Referencias
- ^ Black, Harold (julio de 1964). "Un sistema pasivo para determinar la actitud de un satélite". Revista AIAA . 2 (7): 1350-1351. Código bibliográfico : 1964AIAAJ ... 2.1350. . doi : 10,2514 / 3,2555 .
- ^ Black, Harold (julio-agosto de 1990). "Desarrollos tempranos de tránsito, el sistema de navegación por satélite de la Marina". Revista de Orientación, Control y Dinámica . 13 (4): 577–585. Código Bibliográfico : 1990JGCD ... 13..577B . doi : 10,2514 / 3,25373 .
- ^ Wahba, Grace (julio de 1966). "Una estimación de mínimos cuadrados de la actitud del satélite, problema 65.1". Revisión SIAM . 8 : 385–386. doi : 10.1137 / 1008080 .
- ^ Markley, Landis (abril-junio de 1993). "Determinación de la actitud mediante observaciones vectoriales: un algoritmo de matriz óptimo rápido" (PDF) . La Revista de Ciencias Astronáuticas . 41 (2): 261–280 . Consultado el 18 de abril de 2012 .