En la topografía , la triangulación es el proceso de determinar la ubicación de un punto midiendo solo los ángulos hacia él desde puntos conocidos en cualquier extremo de una línea de base fija, en lugar de medir distancias al punto directamente como en la trilateración . El punto se puede fijar como el tercer punto de un triángulo con un lado conocido y dos ángulos conocidos.
La triangulación también puede referirse al levantamiento preciso de sistemas de triángulos muy grandes, llamados redes de triangulación . Esto se deriva del trabajo de Willebrord Snell en 1615-17, quien mostró cómo un punto podía ubicarse desde los ángulos subtendidos desde tres puntos conocidos, pero medido en el nuevo punto desconocido en lugar de en los puntos previamente fijos, un problema llamado resección . El error topográfico se minimiza si primero se establece una malla de triángulos a la escala apropiada más grande. Los puntos dentro de los triángulos se pueden ubicar con precisión con referencia a ellos. Estos métodos de triangulación se utilizaron para levantamientos topográficos precisos a gran escala hasta el surgimiento desistemas mundiales de navegación por satélite en la década de 1980.
Principio [ editar ]
La triangulación se puede utilizar para encontrar la posición del barco cuando se conocen las posiciones de A y B. Un observador en A mide el ángulo α , mientras que el observador en B mide β .
La posición de cualquier vértice de un triángulo se puede calcular si se conocen la posición de un lado y dos ángulos. Las siguientes fórmulas son estrictamente correctas solo para una superficie plana. Si se debe tener en cuenta la curvatura de la Tierra, se debe utilizar la trigonometría esférica .
Cálculo [ editar ]
Siendo l la distancia entre A y B tenemos:
Usando las identidades trigonométricas tan α = sin α / cos α y sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, esto es equivalente a:
por lo tanto:
A partir de esto, es fácil determinar la distancia del punto desconocido desde cualquier punto de observación, sus desplazamientos norte / sur y este / oeste desde el punto de observación y, finalmente, sus coordenadas completas.
Historia [ editar ]
La triangulación hoy en día se usa para muchos propósitos, incluidos topografía , navegación , metrología , astrometría , visión binocular , cohetes modelo y dirección de armas de fuego .
En el campo, los métodos de triangulación fueron aparentemente no utilizados por los agrimensores romanos especialistas, los agrimensores ; pero fueron introducidos en la España medieval a través de tratados árabes sobre el astrolabio , como el de Ibn al-Saffar (m. 1035). [1] Abu Rayhan Biruni (m. 1048) también introdujo técnicas de triangulación para medir el tamaño de la Tierra y las distancias entre varios lugares. [2] Las técnicas romanas simplificadas parecen haber coexistido entonces con técnicas más sofisticadas utilizadas por topógrafos profesionales. Pero era raro que tales métodos se tradujeran al latín (un manual de geometría, del siglo XIGeomatria incerti auctoris es una rara excepción), y estas técnicas parecen haberse infiltrado lentamente en el resto de Europa. [1] Un mayor conocimiento y uso de tales técnicas en España puede ser atestiguado por el bastón medieval de Jacob , utilizado específicamente para medir ángulos, que data de aproximadamente 1300; y la aparición de líneas costeras examinadas con precisión en las cartas portolanas , la más antigua de las cuales sobrevive data de 1296.
Gemma Frisius [ editar ]
En tierra, el cartógrafo Gemma Frisius propuso el uso de la triangulación para ubicar con precisión lugares lejanos para la elaboración de mapas en su folleto de 1533 Libellus de Locorum describendorum ratione ( Folleto sobre una forma de describir lugares ), que encuadernó como un apéndice en un nuevo edición de 1524 Cosmographica de Peter Apian . Esto se volvió muy influyente y la técnica se extendió por Alemania, Austria y los Países Bajos. El astrónomo Tycho Brahe aplicó el método en Escandinavia, completando una triangulación detallada en 1579 de la isla de Hven , donde se encontraba su observatorio, con referencia a hitos clave en ambos lados delOresund , produciendo un plan de sucesión de la isla en 1584. [3] El método de En Inglaterra Frisius se incluyó en el creciente número de libros sobre la topografía que aparecieron a partir de mediados del siglo adelante, incluyendo William Cuningham 's cosmográficos Glasse (1559), valentín Leigh tratado de medir todas las clases de Tierras (1562), William Bourne 's Reglas de Navegación (1571), Thomas Digges ' s geométrica Práctica llamado Pantometria (1571), y John Norden 's Diálogo Surveyor (1607). Se ha sugerido que Christopher Saxtonpuede haber usado una triangulación aproximada para colocar características en los mapas de su condado de la década de 1570; pero otros suponen que, habiendo obtenido una orientación aproximada a las características desde puntos estratégicos clave, puede haber estimado las distancias a ellas simplemente por conjeturas. [4]
Willebrord Snell [ editar ]
El uso sistemático moderno de las redes de triangulación proviene del trabajo del matemático holandés Willebrord Snell , quien en 1615 midió la distancia de Alkmaar a Breda , aproximadamente 72 millas (116 kilómetros), utilizando una cadena de cuadrángulos que contenían 33 triángulos en total. Snell subestimó la distancia en un 3,5%. Las dos ciudades estaban separadas por un grado en el meridiano , por lo que a partir de su medición pudo calcular un valor para la circunferencia de la tierra, una hazaña celebrada en el título de su libro Eratosthenes Batavus ( The Dutch Eratosthenes), publicado en 1617. Snell calculó cómo se podrían corregir las fórmulas planas para tener en cuenta la curvatura de la tierra. También mostró cómo resecar , o calcular, la posición de un punto dentro de un triángulo usando los ángulos proyectados entre los vértices en el punto desconocido. Estos podrían medirse con mucha más precisión que los rumbos de los vértices, que dependían de una brújula. Esto estableció la idea clave de inspeccionar primero una red primaria de puntos de control a gran escala, y luego ubicar los puntos subsidiarios secundarios más tarde, dentro de esa red primaria.
Nuevos desarrollos [ editar ]
Los métodos de Snell fueron retomados por Jean Picard, quien en 1669-1670 examinó un grado de latitud a lo largo del Meridiano de París utilizando una cadena de trece triángulos que se extendían hacia el norte desde París hasta la torre del reloj de Sourdon , cerca de Amiens . Gracias a las mejoras en los instrumentos y la precisión, Picard's está calificado como la primera medición razonablemente precisa del radio de la Tierra. Durante el siglo siguiente, este trabajo fue ampliado sobre todo por la familia Cassini: entre 1683 y 1718, Jean-Dominique Cassini y su hijo Jacques Cassini inspeccionaron todo el meridiano de París desde Dunkerque hasta Perpignan.; y entre 1733 y 1740 Jacques y su hijo César Cassini emprendieron la primera triangulación de todo el país, incluida una nueva topografía del arco meridiano , lo que llevó a la publicación en 1745 del primer mapa de Francia construido sobre principios rigurosos.
Los métodos de triangulación ya estaban bien establecidos para la elaboración de mapas locales, pero fue solo a fines del siglo XVIII cuando otros países comenzaron a establecer encuestas detalladas de redes de triangulación para mapear países enteros. La principal triangulación de Gran Bretaña fue iniciada por el Ordnance Survey en 1783, aunque no se completó hasta 1853; y el Gran Estudio Trigonométrico de la India, que finalmente nombró y trazó el mapa del Monte Everest y los otros picos del Himalaya, se inició en 1801. Para el estado francés napoleónico, Jean Joseph Tranchot extendió la triangulación francesa en la Renania alemana desde 1801, y posteriormente se completó después de 1815 por el general prusianoKarl von Müffling . Mientras tanto, al célebre matemático Carl Friedrich Gauss se le encomendó de 1821 a 1825 la triangulación del reino de Hannover , para lo cual desarrolló el método de mínimos cuadrados para encontrar la mejor solución para problemas de grandes sistemas de ecuaciones simultáneas dadas más realidades. mediciones mundiales que incógnitas.
Hoy en día, las redes de triangulación a gran escala para el posicionamiento han sido reemplazadas en gran medida por los sistemas globales de navegación por satélite establecidos desde la década de 1980, pero muchos de los puntos de control para los estudios anteriores aún sobreviven como características históricas valiosas en el paisaje, como los pilares de triangulación de hormigón. establecido para la retriangulación de Gran Bretaña (1936–1962), o los puntos de triangulación establecidos para el Arco Geodésico de Struve (1816–1855), ahora programado como Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO .
Ver también [ editar ]
- Encuesta anglo-francesa (1784-1790)
- Torre Bilby
- Multilateración , donde un punto se calcula utilizando la diferencia de tiempo de llegada entre otros puntos conocidos
- Paralaje
- Resección (orientación)
- JUEGO DE VASOS
- Triangulación estelar
- Estereopsis
- Punto de activación
Referencias [ editar ]
- ↑ a b Donald Routledge Hill (1984), A History of Engineering in Classical and Medieval Times , Londres: Croom Helm & La Salle, Illinois: Open Court. ISBN 0-87548-422-0 . págs. 119-122
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ↑ Michael Jones (2004), " Tycho Brahe, Cartography and Landscape in 16 Century Scandinavia ", en Hannes Palang (ed), European Rural Landscapes: Persistence and Change in a Globalizing Environment, p.210
- ^ Martin y Jean Norgate (2003), Hampshire de Saxton: Topografía , Universidad de Portsmouth
Lectura adicional [ editar ]
- Bagrow, L. (1964) Historia de la cartografía ; revisado y ampliado por RA Skelton. Prensa de la Universidad de Harvard.
- Crone, GR (1978 [1953]) Mapas y sus creadores: una introducción a la historia de la cartografía (5ª ed).
- Tooley, RV & Bricker, C. (1969) Una historia de la cartografía: 2500 años de mapas y cartógrafos
- Keay, J. (2000) El gran arco: la dramática historia de cómo se trazó el mapa de la India y se nombró al Everest . Londres: Harper Collins. ISBN 0-00-257062-9 .
- Murdin, P. (2009) Meridiano de gloria completo: Aventuras peligrosas en la competencia para medir la Tierra . Saltador. ISBN 978-0-387-75533-5 .
