pirámide de pascal
En matemáticas , la pirámide de Pascal es una disposición tridimensional de los números trinomios, que son los coeficientes de la expansión trinominal y la distribución trinominal . [1] La pirámide de Pascal es el análogo tridimensional del triángulo de Pascal bidimensional , que contiene los números binomiales y se relaciona con la expansión binomial y la distribución binomial . Los números binomiales y trinomios, los coeficientes, las expansiones y las distribuciones son subconjuntos de las construcciones multinomiales con los mismos nombres.
Debido a que el tetraedro es un objeto tridimensional, es difícil mostrarlo en una hoja de papel, una pantalla de computadora u otro medio bidimensional. Suponga que el tetraedro está dividido en varios niveles, pisos, rebanadas o capas. La capa superior (el vértice) está etiquetada como "Capa 0". Se puede pensar en otras capas como vistas aéreas del tetraedro con las capas anteriores eliminadas. Las primeras seis capas son las siguientes:
Las capas del tetraedro se han mostrado deliberadamente con la punta hacia abajo para que no se confundan individualmente con el triángulo de Pascal.
Los números del tetraedro se derivan de la expansión del trinomio. La n -ésima capa es la matriz de coeficientes separada (sin variables ni exponentes) de una expresión trinominal (p. ej.: A + B + C ) elevada a la n -ésima potencia. La n-ésima potencia del trinomio se expande multiplicando repetidamente el trinomio por sí mismo:
Cada término de la primera expresión se multiplica por cada término de la segunda expresión; y luego se suman los coeficientes de términos semejantes (mismas variables y exponentes). Aquí está la expansión de ( A + B + C ) 4 :
Escribir la expansión de esta manera no lineal muestra la expansión de una manera más comprensible. También hace obvia la conexión con el tetraedro: los coeficientes aquí coinciden con los de la capa 4. Todos los coeficientes, variables y exponentes implícitos, que normalmente no se escriben, también se muestran para ilustrar otra relación con el tetraedro. (Por lo general, "1 A " es " A "; " B 1 " es " B "; y " C 0 " es "1"; etc.) Los exponentes de cada término suman el número de capa ( n ), o 4 , en este caso. Más significativamente, el valor de los coeficientes de cada término se puede calcular directamente a partir de los exponentes. La fórmula es:)! / ( x ! × y ! × z !) , donde x, y, z son los exponentes de A, B, C, respectivamente, y "!" significa factorial (p. ej.: n ! = 1 × 2 × ⋯ × n ). Las fórmulas de los exponentes para la cuarta capa son:
