Los errores de truncamiento en la integración numérica son de dos tipos:
- errores de truncamiento local : el error causado por una iteración, y
- Errores de truncamiento global : el error acumulativo causado por muchas iteraciones.
Definiciones
Supongamos que tenemos una ecuación diferencial continua
y deseamos calcular una aproximación de la verdadera solución en pasos de tiempo discretos . Para simplificar, suponga que los pasos de tiempo están igualmente espaciados:
Supongamos que calculamos la secuencia con un método de un solo paso del formulario
La función se llama función de incremento y se puede interpretar como una estimación de la pendiente.
Error de truncamiento local
El error de truncamiento local es el error que nuestra función de incremento, , causa durante una sola iteración, asumiendo un conocimiento perfecto de la verdadera solución en la iteración anterior.
Más formalmente, el error de truncamiento local, , al paso se calcula a partir de la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho de la ecuación para el incremento :
El método numérico es consistente si el error de truncamiento local es (esto significa que para cada existe un tal que para todos ; ver notación pequeña-o ). Si la función de incremento es continuo, entonces el método es consistente si, y solo si, . [3]
Además, decimos que el método numérico tiene orden si para una solución suficientemente fluida del problema del valor inicial, el error de truncamiento local es (lo que significa que existen constantes y tal que para todos ). [4]
Error de truncamiento global
El error de truncamiento global es la acumulación del error de truncamiento local sobre todas las iteraciones, asumiendo un conocimiento perfecto de la verdadera solución en el paso de tiempo inicial. [ cita requerida ]
Más formalmente, el error de truncamiento global, , en el momento es definido por:
El método numérico es convergente si el error de truncamiento global llega a cero cuando el tamaño del paso llega a cero; en otras palabras, la solución numérica converge a la solución exacta:. [6]
Relación entre errores de truncamiento local y global
A veces es posible calcular un límite superior en el error de truncamiento global, si ya conocemos el error de truncamiento local. Esto requiere que nuestra función de incremento se comporte lo suficientemente bien.
El error de truncamiento global satisface la relación de recurrencia:
Esto se desprende inmediatamente de las definiciones. Ahora suponga que la función de incremento es Lipschitz continua en el segundo argumento, es decir, existe una constante tal que para todos y y , tenemos:
Entonces el error global satisface el límite
Se deduce del límite anterior para el error global que si la función en la ecuación diferencial es continua en el primer argumento y Lipschitz continua en el segundo argumento (la condición del teorema de Picard-Lindelöf ), y la función de incremento es continuo en todos los argumentos y Lipschitz continuo en el segundo argumento, entonces el error global tiende a cero como tamaño del paso se acerca a cero (en otras palabras, el método numérico converge a la solución exacta). [8]
Extensión a métodos lineales de varios pasos
Ahora considere un método lineal de varios pasos , dado por la fórmula
Por lo tanto, el siguiente valor para la solución numérica se calcula de acuerdo con
La siguiente iteración de un método de múltiples etapas lineal depende de las anteriores s itera. Por lo tanto, en la definición del error de truncamiento local, ahora se supone que las iteraciones s anteriores corresponden todas a la solución exacta:
Nuevamente, el método es consistente si y tiene orden p si. La definición del error de truncamiento global tampoco se modifica.
La relación entre los errores de truncamiento local y global es ligeramente diferente de la configuración más simple de los métodos de un solo paso. Para los métodos lineales de varios pasos, se necesita un concepto adicional llamado estabilidad cero para explicar la relación entre los errores de truncamiento local y global. Los métodos lineales de varios pasos que satisfacen la condición de estabilidad cero tienen la misma relación entre los errores locales y globales que los métodos de un solo paso. En otras palabras, si un método lineal de varios pasos es estable en cero y consistente, entonces converge. Y si un método lineal de varios pasos es estable en cero y tiene un error local, entonces su error global satisface . [10]
Ver también
Notas
- ^ Gupta, GK; Sacks-Davis, R .; Tischer, PE (marzo de 1985). "Una revisión de los desarrollos recientes en la resolución de EDO". Encuestas de Computación . 17 (1): 5–47. CiteSeerX 10.1.1.85.783 . doi : 10.1145 / 4078.4079 .
- ^ Süli y Mayers , 2003 , p. 317, llamadas el error de truncamiento.
- ^ Süli y Mayers 2003 , págs. 321 y 322
- ^ Iserles 1996 , p. 8; Süli y Mayers 2003 , pág. 323
- ^ Süli y Mayers , 2003 , p. 317
- ^ Iserles 1996 , p. 5
- ^ Süli y Mayers , 2003 , p. 318
- ^ Süli y Mayers , 2003 , p. 322
- ^ Süli y Mayers , 2003 , p. 337, utiliza una definición diferente, dividiendo esto esencialmente por h
- ^ Süli y Mayers , 2003 , p. 340
Referencias
- Iserles, Arieh (1996), Un primer curso en el análisis numérico de ecuaciones diferenciales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
- Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0521007941.
enlaces externos
- Notas sobre errores de truncamiento y métodos de Runge-Kutta
- Error de truncamiento del método de Euler