En teoría de números , el teorema de Tunnell da una resolución parcial al problema de números congruentes , y bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , una resolución completa.
Problema de números congruentes
El problema de números congruentes pregunta qué números enteros positivos pueden ser el área de un triángulo rectángulo con los tres lados racionales. El teorema de Tunnell relaciona esto con el número de soluciones integrales de algunas ecuaciones diofánticas bastante simples .
Teorema
Para un entero n dado libre de cuadrados , defina
El teorema de Tunnell establece que suponiendo que n es un número congruente, si n es impar, entonces 2 A n = B n y si n es par, entonces 2 C n = D n . Por el contrario, si la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es cierta para las curvas elípticas de la forma, estas igualdades son suficientes para concluir que n es un número congruente.
Historia
El teorema lleva el nombre de Jerrold B. Tunnell , un teórico de números de la Universidad de Rutgers , quien lo demostró en Tunnell (1983) .
Importancia
La importancia del teorema de Tunnell es que el criterio que da es comprobable mediante un cálculo finito. Por ejemplo, para una n dada , los números A n , B n , C n , D n se pueden calcular buscando exhaustivamente a través de x , y , z en el rango.
Ver también
Referencias
- Koblitz, Neal (2012), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas (Libro 97) (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6942-7
- Tunnell, Jerrold B. (1983), "Un problema diofantino clásico y formas modulares de peso 3/2" , Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, doi : 10.1007 / BF01389327 , hdl : 10338.dmlcz / 137483