En matemáticas , un número congruente es un número entero positivo que es el área de un triángulo rectángulo con tres lados de números racionales . [1] Una definición más general incluye todos los números racionales positivos con esta propiedad. [2]
La secuencia de números congruentes (enteros) comienza con
- 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (secuencia A003273 en la OEIS )
norte | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
- | - | - | - | C | C | C | - | |
norte | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis |
- | - | - | - | C | C | C | - | |
norte | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
- | - | - | S | C | C | C | S | |
norte | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
- | - | - | S | C | C | C | - | |
norte | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
- | C | - | - | C | C | C | - | |
norte | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |
C | - | - | - | S | C | C | - | |
norte | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 |
- | - | - | S | C | S | C | S | |
norte | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 |
- | - | - | S | C | C | S | - | |
norte | sesenta y cinco | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 |
C | - | - | - | C | C | C | - | |
norte | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
- | - | - | - | C | C | C | S | |
norte | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 |
- | - | - | S | C | C | C | S | |
norte | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 |
- | - | - | S | C | C | C | S | |
norte | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |
- | - | - | - | C | C | C | - | |
norte | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 |
- | - | - | - | C | C | C | S | |
norte | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
- | - | - | S | S | C | C | S |
Por ejemplo, 5 es un número congruente porque es el área de un triángulo (20/3, 3/2, 41/6). De manera similar, 6 es un número congruente porque es el área de un triángulo (3, 4, 5). 3 y 4 no son números congruentes.
Si q es un número congruente, entonces s 2 q también es un número congruente para cualquier número natural s (simplemente multiplicando cada lado del triángulo por s ), y viceversa. Esto lleva a la observación de que si un número racional q distinto de cero es un número congruente depende solo de su residuo en el grupo
- .
Cada clase de residuo en este grupo contiene exactamente un número entero libre de cuadrados y, por lo tanto, es común considerar solo enteros positivos libres de cuadrados cuando se habla de números congruentes.
Problema de números congruentes
La cuestión de determinar si un número racional dado es un número congruente se llama problema de números congruentes . Este problema no se ha resuelto con éxito (a partir de 2019). El teorema de Tunnell proporciona un criterio fácilmente comprobable para determinar si un número es congruente; pero su resultado se basa en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , que aún no ha sido probada.
El teorema del triángulo rectángulo de Fermat , llamado así por Pierre de Fermat , establece que ningún número cuadrado puede ser un número congruente. Sin embargo, en la forma en que cada congruum (la diferencia entre elementos consecutivos en una progresión aritmética de tres cuadrados) no es cuadrado, Fibonacci ya lo conocía (sin pruebas) . [3] Todo congrueo es un número congruente y todo número congruente es el producto de un congruente y el cuadrado de un número racional. [4] Sin embargo, determinar si un número es un congrueo es mucho más fácil que determinar si es congruente, porque existe una fórmula parametrizada para congrua para la cual solo se necesita probar un número finito de valores de parámetros. [5]
Soluciones
n es un número congruente si y solo si
- ,
tiene soluciones (si es así, entonces esta ecuación tiene infinitas soluciones, como la ecuación de Pell ). [ cita requerida ]
Dadas las soluciones { x , y , z , t }, se puede obtener { a , b , c } tal que
- , y
de
- , ,
Relación con las curvas elípticas
La cuestión de si un número dado es congruente resulta ser equivalente a la condición de que cierta curva elíptica tenga rango positivo . [2] A continuación se presenta un enfoque alternativo a la idea (como también se puede encontrar esencialmente en la introducción al artículo de Tunnell).
Suponga que a , b , c son números (no necesariamente positivos o racionales) que satisfacen las siguientes dos ecuaciones:
A continuación, establezca x = n ( un + c ) / b y y = 2 n 2 ( un + c ) / b 2 . Un cálculo muestra
y y no es 0 (si y = 0 entonces a = - c , entonces b = 0 , pero ( 1 ⁄ 2 ) ab = n es distinto de cero, una contradicción).
Por el contrario, si x y y son números que satisfacen la ecuación anterior y y no es 0, establecer un = ( x 2 - n 2 ) / Y , b = 2 nx / y , y c = ( x 2 + n 2 ) / y . A shows de cálculo estos tres números satisfacen las dos ecuaciones para un , b , y c anteriormente.
Estas dos correspondencias entre ( a , b , c ) y ( x , y ) son inversas entre sí, por lo que tenemos un uno-a-uno correspondencia entre cualquier solución de las dos ecuaciones en un , b , y c y cualquier solución de de la ecuación en x y y con y distinto de cero. En particular, a partir de las fórmulas en las dos correspondencias, por racional n vemos que un , b , y c son racionales si y sólo si los correspondientes x y y son racionales, y viceversa. (También tenemos que a , b , y c son todos positivos si y sólo si x y y son todos positivos; partir de la ecuación y 2 = x 3 - xn 2 = x ( x 2 - n 2 ) vemos que si x y y son positivos, entonces x 2 - n 2 debe ser positivo, por lo que la fórmula para a anterior es positiva).
Por lo tanto, un número racional positivo n es congruente si y solo si la ecuación y 2 = x 3 - n 2 x tiene un punto racional con y no igual a 0. Puede demostrarse (como una aplicación del teorema de Dirichlet sobre los números primos en progresión aritmética ) que los únicos puntos de torsión en esta curva elíptica son aquellos con y igual a 0, por lo tanto, la existencia de un punto racional con y distinto de cero es equivalente a decir que la curva elíptica tiene rango positivo.
Otro enfoque para resolver es comenzar con el valor entero de n denotado como N y resolver
dónde
Soluciones más pequeñas
La siguiente es una lista de las soluciones racionales para y con número congruente n y el numerador más pequeño para c . (asumimos que a < b ; a no puede ser igual ab , porque si es así, entonces, pero no es un número racional, por lo que c y a no pueden ser ambos números racionales). [ cita requerida ]
norte | a | B | C |
5 | |||
6 | 3 | 4 | 5 |
7 | |||
13 | |||
14 | |||
15 | 4 | ||
20 | 3 | ||
21 | 12 | ||
22 | |||
23 | |||
24 | 6 | 8 | 10 |
28 | |||
29 | |||
30 | 5 | 12 | 13 |
31 | |||
34 | 24 | ||
37 | |||
38 | |||
39 | |||
41 | |||
45 | 20 | ||
46 | |||
47 | |||
52 | |||
53 | |||
54 | 9 | 12 | 15 |
55 | |||
56 | 21 | ||
60 | 8 | 15 | 17 |
61 | |||
... | ... | ... | ... |
101 | |||
... | ... | ... | ... |
157 |
Progreso actual
Se ha trabajado mucho para clasificar números congruentes.
Por ejemplo, se sabe [6] que para un número primo p , se cumple lo siguiente:
- si p ≡ 3 ( mod 8) , entonces p no es un número congruente, pero 2 p es un número congruente.
- si p ≡ 5 (mod 8) , entonces p es un número congruente.
- si p ≡ 7 (mod 8) , entonces py 2 p son números congruentes.
También se sabe [7] que en cada una de las clases de congruencia 5, 6, 7 (mod 8) , para cualquier k dado hay infinitos números congruentes libres de cuadrados con k factores primos.
Notas
- ^ Weisstein, Eric W. "Número congruente" . MathWorld .
- ^ a b Koblitz, Neal (1993), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Nueva York: Springer-Verlag , p. 3, ISBN 0-387-97966-2
- ^ Ore, Øystein (2012), Teoría de números y su historia , Courier Dover Corporation, págs. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1.
- ^ Conrad, Keith (otoño de 2008), "The congruent number problem" (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, archivado desde el original (PDF) en 2013-01-20.
- ^ Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes , John Wiley & Sons, p. 77, ISBN 978-0-471-66700-1.
- ^ Paul Monsky (1990), "Mock Heegner Points and Congruent Numbers", Mathematische Zeitschrift , 204 (1): 45–67, doi : 10.1007 / BF02570859
- ^ Tian, Ye (2014), "Números congruentes y puntos Heegner", Cambridge Journal of Mathematics , 2 (1): 117-161, arXiv : 1210.8231 , doi : 10.4310 / CJM.2014.v2.n1.a4 , MR 3272014.
Referencias
- Alter, Ronald (1980), "The Congruent Number Problem", American Mathematical Monthly , Asociación Matemática de América, 87 (1): 43–45, doi : 10.2307 / 2320381 , JSTOR 2320381
- Chandrasekar, V. (1998), "The Congruent Number Problem" (PDF) , Resonance , 3 (8): 33–45, doi : 10.1007 / BF02837344
- Dickson, Leonard Eugene (2005), "Capítulo XVI", Historia de la teoría de los números , Libros de Dover sobre matemáticas, Volumen II: Análisis diofantino, Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-44233-4
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - ver, para una historia del problema. - Guy, Richard (2004), Problemas no resueltos en teoría de números , Libros de problemas en matemáticas (Libro 1) (3.a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001 - Se dan muchas referencias en.
- Tunnell, Jerrold B. (1983), "Un problema diofantino clásico y formas modulares de peso 3/2" , Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, Bibcode : 1983InMat..72..323T , doi : 10.1007 / BF01389327 , hdl : 10338.dmlcz / 137483
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número congruente" . MathWorld .
- Se puede encontrar una breve discusión sobre el estado actual del problema con muchas referencias en las preguntas abiertas de Alice Silverberg en geometría aritmética algebraica (posdata).
- Un billón de triángulos : los matemáticos han resuelto el primer billón de casos (condicional a la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer ).